SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE 



E BEI MASSIMI GESEEI 



IN UNO SPAZIO QUALUNQUE 



MEMORIA 



DI 



GINO FANO 



Approvata nell'Adunanza del 25 Giugno 1893 (*). 



Al concorso aperto dall'Accademia delle Scienze di Berlino pel conferimento del 

 terzo premio Steiner (sopra un tema relativo alla teoria delle curve sghembe alge- 

 briche (1)) si presentarono, com'è noto, due celebri Memorie; una dell'HALPHEN (2), 

 l'altra del Noether (3): pregevolissime entrambe, n'ebbero anzi diviso il premio (4). 

 E fra i risultati contenuti in queste Memorie è certo importantissimo il teorema, 

 che le curve sghembe di dato ordine e genere massimo sono tutte contenute in una 

 quadrica (5). Questa proposizione è stata poi estesa dal sig. Castelnuovo alle curve 

 di uno spazio lineare a un numero qualunque r di dimensioni (6), e in luogo della 

 quadrica compare in questo caso più generale la rigata razionale normale di or- 

 dine r — 1 (7) (o anche, per r = 5, la superficie omaloide Fj di Veronese (Meni, 

 della R. Accad. dei Lincei, 3°, XIX)). Con quest'estensione si può ritenere esaurita 

 la determinazione delle varie curve di genere massimo (ir) di uno spazio qua- 

 lunque S,. (e di ordine > 2r); appunto perchè queste curve ne risultano contenute 



(*) Questa Memoria è tratta dalla Dissertazione di Laurea presentata dall'autore alla Facoltà 

 di Scienze dell'Università di Torino nel giugno 1892. 



(1) " Irgend eine auf die Theorie der hòheren algebraischen Raumcurven sich beziehende Frage von 

 " wesentlicher Bedeutung vollstàndig erledigen ». 



(2) Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques : un estratto di questa Memoria era 

 già stato pubblicato nei " Compt. Rend. de l'Ac. des Se. „ (t. 70, 1870). AII'Halphen è pure dovuta la 



♦ determinazione del numero minimo di punti doppi apparenti (ossia del massimo genere) che può 

 avere una curva sghemba di dato ordine. 



(3) Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumcurven (Berlin, 1883). 



(4) V. u Sitzungsber der Beri. Akad. », 1882; p. 735 (offent. Sitz. vom 29 Juni). 



(5) Proposizione già accennata da Halphen nei Compt. Rend. (1870). 



(6) Cfr. la Mem. Ricerche di Geometria sulle curve algebriche; n 1 28 e seg. (" Atti dell' Accad. di 

 Torino „, voi. XXIV). In questo stesso lavoro è anzi stato determinato per la prima volta il genere 

 massimo di una curva di dato ordine e appartenente a un dato spazio qualsiasi. 



(7) Della quale appunto quella quadrica (dello spazio S 3 ) è caso particolare. 



