SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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Per una curva di S r d'ordine n > 2r e del massimo genere passano C7 1 ) quadriche 

 linearmente indipendenti; e ogni altra quadrica passante per una tal curva appartiene 

 al sistema lineare di quelle. — La prima parte dell'enunciato è vera anche se l'or- 

 dine della curva è inferiore a 2r; ma per questa curva potranno passare allora 

 anche più di (V) quadriche indipendenti (1). 



Da questo risultato egli deduce poi che: 



Se n > 2r, la curva d'ordine n e di genere massimo di S r sta in una superficie a 

 due dimensioni d'ordine r — 1 ; superfìcie che, come sappiamo, è sempre rigata se r 

 è diverso da 5 (2), ma può non esserlo nel caso di r = 5 (superficie di Veronese) (3). 

 Questa superficie è comune a tutte le quadriche passatiti per quella curva, e costituisce 

 anzi precisamente la varietà base del loro sistema lineare (4). 



La dimostrazione che il sig. Castelnuovo dà di quest'ultima proposizione si ap- 

 plica anche a qualsiasi curva di S r di ordine n > 2r per la quale passino (""7 1 ) quadriche 

 indipendenti (sia non sia questa curva di genere massimo) (5) (6). 



trovano anche generalizzate alcune delle proprietà che condussero il Castelnuovo a quella deter- 

 minazione, e ne sono accennate alcune fra le possibili applicazioni. 



Non occorre avvertire che il genere massimo da noi indicato con ir è sempre funzione dell' or- 

 dine n della curva e della dimensione r dello spazio cui essa appartiene. Per brevità ci asteniamo 

 dall'usare per questo una notazione più espressiva, scrivendo ad es. ir > n, r j ; e ciò perchè , anche 

 in seguito, non ci sembra vi sia pericolo di confusione. 



(1) Ci sia concesso, ora ed in seguito, di parlare semplicemente di quadriche indipendenti, sot- 

 tintendendo per brevità il linearmente. 



(2) Cfr. Del Pezzo: Sulle superficie dell'n ordine immerse nello spazio S n+1 ("Rendiconti della 

 R. Accad. di Napoli „, 1885). 



(3) La superficie omaloide nonnaie, a due dimensioni del quarto ordine dello spazio a cinque dimen- 

 sioni e le sue proiezioni nel piano e nello spazio ordinario (" Mem. della R. Acc. dei Lincei „, serie 3 a , 

 voi. XIX, 1883-84). 



(4) Nel caso di una superficie rigata, come osserva anche il sig. Castelnuovo, il numero x aumen- 

 tato di un'unità dà il numero dei punti in cui la curva considerata incontra le varie generatrici 

 di quella stessa rigata. Però, per le curve il cui ordine è un multiplo di r — 1 aumentato di una 

 unità, questo stesso numero- può anche esser dato dalla somma X + 2. Segando infatti la rigata R r— 1 

 con una varietà M*_j che non le sia tangente in alcun punto, ma passi per r — 2 sue generatrici, 

 otteniamo come intersezione (residua) una curva di ordine n = (k — 1) (r — 1) -f- 1 incontrata da ogni 

 generatrice in k punti; e perciò, per una nota formola, di genere (^^f 1 ) (>' — 1), cioè appunto di 

 genere tt. E il numero x , in questo caso precisamente uguale a " _ \ , vale soltanto k — 2 

 (onde t = x + 2). 



La formola cit. è quella data dal sig. Segre nella Nota: Intorno alla geometria su una rigata 

 algebrica (" Rendic. R. Accad. dei Lincei „, 1887), e da lui stesso poi generalizzata nella Nota suc- 

 cessiva (stessi Rendic): Sulle varietà algebriche composte di una serie semplicemente infinita di spazi. 



(2 novembre) L'osservazione contenuta in questa nota è stata fatta anche recentemente dal 

 sig. Castelnuovo, in un lavoro inserto nei " Rend. di Palermo „ (t. VII, p. 97). 



(5) Questa sola proprietà (l'essere contenuta cioè in ( r 2" 1 ) quadriche indipendenti) basta infatti 

 per concludere che le n intersezioni della curva C" con un S r _i (intersezioni che possiamo ritenere 

 ad r ad r indipendenti) non imporranno certo alle quadriche di quest'ultimo spazio che le conten- 

 gono più di 2r — 1 condizioni distinte. E il sig. Castelnuovo fa vedere appunto (cfr. loc. cit.: 30) che 

 in tal caso, se »> 2r, quelle n intersezioni dovranno stare sopra una curva razionale normale di 

 ordine r — 1, che sarà pur contenuta a sua volta in tutte le quadriche passanti per quegli stessi 

 n punti. E dalla curva C r— 1 di S r _j si risale poi subito alle superficie F r— 1 di S r . 



(6) Questi risultati ottenuti dal sig. Castelnuovo e qui ricordati si possono anche estendere al 

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