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GINO FANO 



2. Una curva di S r la quale stia sopra meno di (V) quadriche indipendenti non 

 potrà dunque essere di genere massimo (tt) — e non starà sopra una rigata razionale 

 normale, nè sulla superficie di Veronese (se r = 5) — . 



Si presenta dunque, di per sè, la questione: Sapendo che per una certa curva 

 Cp appartenente a S r passano solo ( r 7 ) — ò quadriche indipendenti (o almeno non ne 

 passano di più), determinare per il genere p di questa stessa curva un limite superiore 

 (possibilmente diverso da tt, e precisamente inferiore a questo, se ò > 0). 



A questa domanda si può rispondere facilmente, con un ragionamento analogo 

 a quello con cui il Castelnuovo giunse alla determinazione del genere tt. E noi di- 

 mostreremo precisamente che : 



Il genere p di una curva normale (1) d'ordine n appartenente a S r per la quale 

 passino non più di C7 1 ) — b quadriche indipendenti non può mai superare il limite 



( r+1 r—1) l \ ) . 



Xj \ n — 2 — Xj ~ir~ \ ~ \ X/ — M 



dove è il minimo intero non inferiore a — — r ,., & . 



' r — 1 



Questo risultato comprenderà come caso particolare (b = 0) quello già ottenuto 

 dal sig. Castelnuovo. 



Infatti, per le nostre ipotesi, la serie lineare (di ordine 2n) segata sulla curva C£ 

 dal sistema di tutte le quadriche di S r sarà di dimensione 



caso in cui, invece di quadriche, si vogliano considerare varietà pure di dimensione r — 1, ma di 

 un ordine qualunque k J? 2. E si ha precisamente : 



Per ogni curva appartenente ad S r e del genere massimo passano almeno 



et*) - et 1 ) r + (2) - 1 



varietà M*_j linearmente indipendenti. Indicando questo numero per brevità con (r, k), possiamo 

 aggiungere : 



Quando l'ordine della curva di genere massimo è superiore a k (r — 1) per essa passano precisa- 

 le Te 

 mente (r, k) varietà M r _j indipendenti ; e ogni altra M r _ 1 che la contiene appartiene al sistema 



lineare di queste. La dimostrazione si può fare per induzione completa da k a k -(- 1, osservando 



che le M r _j passanti per una curva (irriduttibile) appartenente a Sr e per un dato S r _ x (di questo Sr) 



sono tante quante le M r ZÌ che contengono quella stessa curva. E infine: 



Se per una curva appartenente ad S r e di ordine n >■ k (r — 1) + 2 passano (r, k) varietà M*_ x 

 indipendenti, questa curva starà su di una superficie razionale normale di ordine r — 1 comune a tutte 

 quelle varietà. Questa proposizione si applica in particolare alle curve di genere massimo; da essa 

 deduciamo altresì che , se una curva di Sr è contenuta in (r, k) varietà indipendenti di un certo 

 ordine k, ed è a sua volta di ordine > k (r — 1) + 2 , essa dovrà anche stare sopra almeno (r, k') 

 varietà indipendenti di ogni altro ordine k' > 2. 



Anche le ricerche che andremo ora facendo per curve contenute in sistemi lineari di quadriche 

 di dimensione inferiore a C^ 1 ) — 1 potrebbero estendersi al caso di sistemi di varietà M*_j; ma 

 già il calcolo analogo a quello che faremo nel n° 2 riuscirebbe molto complicato ; ci basti quindi 

 di aver accennata la possibilità di questa estensione. 



(1) Si potrebbe anche omettere questa restrizione, e supporre la curva normale per un S r+ ,' 

 modificando solo opportunamente il limite superiore che segue. Ho preferito tuttavia dare al teo- 

 rema questa forma (più semplice) perchè sarà solo a curve normali che dovremo applicarlo. Si può 

 anzi ritenere, come sappiamo, che una curva speciale (di quelle non speciali non avremo ad occu- 

 parci) sia anche, in generale, una curva normale. 



