SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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d > et 2 ) - Ci 1 ) + ò - i 



ossia 



d > 3r + b — 1. 



Supponiamo che questa serie <7 2n sia speciale. Sarà allora speciale — perchè 

 contenuta in quest'ultima — anche la g r n segata su Cp dagli iperpiani (S r ^) di S r , 

 e speciale la curva stessa. Essendo questa normale, ogni gruppo di quella g r „ im- 

 porrà a un gruppo della serie canonica (gl^-2) che debba contenerlo un numero Hi di 

 condizioni precisamente uguale a n — r. D'altra parte, se indichiamo con |u 2 il nu- 

 mero (minimo) delle condizioni imposte pure da un gruppo di g' n a un gruppo della 

 serie residua g%zH£lZ l che debba contenerlo (e di gruppi così fatti ve ne saranno 

 certo) avremo, per una delle relazioni stabilite dal Castelnuovo (1), 



d < 2n — (u t -j- u 2 ) 



(e ciò risulta anzi evidente, quando si pensi al significato della somma Uj -\- u 2 ); e 

 quindi, a fortiori, 



3r ò — 1 < 2» — (Hx -f mO 



ossia 



Mi ~\" M2 — 2w — 3r — b — f- 1 - 

 E tenendo conto infine della relazione \Xi = n — r ossia 



(Ti) Mi = n — (r — 1) — 1 



se ne deduce quest'altra: 



(Y*) u 2 < n — 2(r — 1) — ò — 1. 



Osserviamo poi che sarà precisamente 2n — (u, -)- u 2 ) la dimensione della serie 

 completa di ordine 2n che contiene la gf n — se questa già non è completa (2) — 

 e quindi le varie coppie di gruppi di g r n (3). 



Se si ha poi ancora 



(<x 3 ) u, + 2u 2 — (r — 1) < p 



si dimostra facilmente (cfr. Castelnuovo, 1. e, n' 25 e seg. ; Bertini, n'5e seg.) che 

 anche a un gruppo della serie residua della g^-^t+f^) si può imporre di 



contenere un gruppo arbitrario Gr„ di gl ; e che, indicando con u 3 il numero minimo di 



(1) La relazione generale (loc. cit., 28) sarebbe 



p < kit — (mi + M2 + + M*) 



dove p è la dimensione della serie lineare segata su dal sistema di tutte le M*_j di S r . Questa 

 formola si applica qui per k — 2. 



(2) E sarebbe completa appunto nel caso estremo d — 2n — (Mi -r M2X 



(3) Di queste serie multiple di una data serie lineare si è occupato recentemente (e in modo 

 più particolare) lo stesso sig. Castelnuovo, nella Nota: Sui multipli di una serie lineare di gruppi di 

 punti appartenente ad una curva algebrica (" Rend. di Palermo „, t. VII). In questo lavoro si trova anche 

 determinato nuovamente il valore del genere massimo tc, per una via sostanzialmente non diversa, 

 ma forse più semplice, di quella tenuta nelle Ricerche (2 novembre). 



