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punti di un tal gruppo che devono stare nel primo, perchè questo lo contenga per 

 intiero, si dovrà avere 



M 3 iS H 2 — (r — 1) 



ossia 



(Ts) Hs is n — 3(r — 1) — b. 



Segue pure da ciò che le terne di gruppi G n sono a lor volta gruppi speciali, 

 e appartengono precisamente a una serie speciale completa di ordine 3n e dimensione 

 Sn — (u, + u 2 -f u 3 ). 



E se ora estendiamo alle |u 4 n u le definizioni date per n x , (u 2 , M3, nell'ipo- 

 tesi, s'intende, che siano soddisfatte le successive relazioni 



K) Hi -f M2 + 2u 3 — (r — 1) < p 



(a») Mi + Ha -f + Mk-s + 2^ — (r — 1) < _p (1) 



troveremo facilmente che anche per queste nuove u si ha in generale 



Mi ^ M.-i — [r — 1) 



e quindi 



(T 4 ) M4 S w — 4 (r — 1) — ò — 1 



(Ts) m 3 < n — 5 (r — 1) — ò — 1 



(r*) Mk S » — k(r — 1) — ò — 1 



dalle quali relazioni si deduce immediatamente 



Mi + Mz + "H M*-i + 2n„ - (r - 1) < (A: + 1) n - ( fc + 2 ) (r- 1) - hò — 



ovvero anche 



mi + m 2 4 + m*-i 4- 2m* - (r - 1) < (i 4- 1) [* - ^ - (* + 1) nr I - 



Il numero A; si supponga ora precisamente tale che, essendo pur verificate le 

 relazioni a*) per i < non lo sia più la ct k+1 ); ma si abbia invece 



Mi + M* + 4- M*-i 4" 2^ - (r - 1) > p (2). 



(1) Supposto cioè che si verifichi la (a 4 ), chiameremo |u 4 il numero minimo di punti di Gr« che 

 devono trovarsi in un gruppo della serie residua della g^~^' + '^' i ~^ perchè questo gruppo con- 

 tenga tutto G n medesimo, ecc. ecc. 



(2) È chiaro che un valore così fatto di k dovrà sempre esistere (cfr. anche Castelnuovo, loc. cit.). 

 Potrebbe però essere k — 2 (non essere cioè già più soddisfatta nemmeno la (a 3 )), — e allora do- 

 vremmo naturalmente fermarci alla relazione (Y2) — • 



