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GINO FANO 



§ 2. 



Sull'ordine di una curva per la quale deve passare 

 un dato numero di quadriche. 



3. Il risultato semplicissimo ottenuto nel § precedente ci permetterebbe di sta- 

 bilire subito un minimum, per il numero delle quadriche che passano per una curva 

 di dato ordine e genere e appartenente a un dato spazio (o almeno di stabilire un 

 tal minimum in modo nuovo, se la curva è non speciale). Ma per noi ha molto 

 maggior importanza lo studio della questione seguente : Determinare possibilmente un 

 ordine dal quale in su una curva di S r , supposta normale (1) e di genere tt — k {dove 

 k ha un valore assegnato ad arbitrio) (2), stia necessariamente sopra almeno ('"7 1 ) — ò 

 quadriche indipendenti. Di una tale ricerca ci converrà ora occuparci. 



Sarà condizione sufficiente per quanto si richiede che si abbia : 



n-k>y!\n-^-t r -^\-\ X'-lj j b + 1 | 



dove n è l'ordine della curva e x' indica il minimo intero non inferiore a w ~ ? ~~ 6 ~ 1 i%\ 



r — 1 ' 



È chiaro che, quando nessuno dei numeri 



ti — r — b — 1 n — r — ò n — r — 1 



r — 1 ' r— 1 r — 1 



sia intero, lo stesso x' e anche il minimo intero non inferiore a , e perciò la 



relazione scritta testò — sostituendo a tt il suo valore — si induce subito a que- 

 st'altra 



| X ' - 1 | I b + 1 ( > k 



h 



ossia x' > b + 1 -f- 1- Se dunque indichiamo con l il resto della divisione di k per 

 ò -f- 1 , basterà che sia x' — ò + 1 H~ 2, e per questo è sufficiente (e anche necessario) 



n — r ^ k — l | -, 



-JTÌ > + 0SSia 



(1) ^ìo^T+ 2 i)'-lj + 2. 



(1) Questa condizione la troveremo però, nella maggior parte dei casi, già di per se soddisfatta 

 (cfr. anche la nota seg.). 



Ir + 1 r — 1 ) 

 11 2 " — 2 | — ?ì 



dove x l— Xo) indica il minimo intero non inferiore a ~ !" . Avvertiamo poi che la curva stessa 



sarebbe certo normale quando il suo ordine superasse un certo limite (che dipenderà dal valore di Jc, 

 e sarebbe anche facile da determinare). 



(3) Scriviamo per brevità x' anziché Xó + i (cfr. § preced.). 



