344 GINO FANO 



Come primo caso particolare molto notevole abbiamo : 



Una curva C"_ J . di S r sta sempre sopra ( r 7') quadriche indipendenti — e quindi 

 sopra una rigata razionale normale o una superficie di Veronese comune a queste qua- 

 driche — quando 



n 3? (jfe -f 2) ir - 1) + 2 (1) (2) (3). 



E così pure: Una C"_ ft normale di S. r sta sempre sopra non meno di ( r ~?) — 1 

 quadriche indipendenti quando 



n > k * 4 [r — 1) — f— 2 oppure w > fe ^~ 3 (r — 1) -4- 3 



secondo che k è numero pari o dispari. 



Per ò = & — 1, abbiamo: iVe^o spazio S r wwa cwrm normale di genere tt — k (k<r) 

 e di ordine non inferiore a 3r — • 1 sto sempre sopra almeno (V) — A; -4- 1 quadriche 

 indipendenti. 



Ponendo infine b = k si ha: Per tata curva normale G^._ k di S r (dove k< r — 1) 

 passano sempre almeno ('7 1 ) — k quadriche indipendenti, quando sia n > 2r -|- k. Però 

 un ragionamento quasi ovvio ci convince facilmente che una tal curva sta sempre 

 sopra non meno di ('7 1 ) — k quadriche indipendenti (qualunque ne sia l'ordine). — 

 L'ordine 2r -\- k è quello dal quale in su la curva C£_ 7c è necessariamente speciale. 



§ 3. 



Alcune osservazioni sulle curve contenute 

 in una rigata razionale normale. 



5. Dalle poche cose esposte finora appare già come, fra tutte le curve di S„ 

 debbano avere una certa importanza quelle contenute in una rigata razionale nor- 

 male R r ~ l (perchè su di una tal superfìcie (4) stanno appunto le curve di S r di 

 genere tt — k, da un certo ordine in poi). Mi sembra perciò opportuno di fare qui 

 senz'altro su queste curve alcune osservazioni, per quanto semplici, delle quali avrò 

 a valermi (e spesso) in seguito. 



(1) La parte relativa alla superficie ¥ r cessa però di sussistere, per k = 0, nel caso estremo 

 n = 2r. 



(2) In questo caso il limite inferiore dato per l'ordine n è tale che la curva C£_j risulta già 

 di per se normale. 



(3) In particolare una curva C" —1 dello spazio S 3 starà certo sopra una quadrica quando 

 n 5: 8 (se di genere tt — 2 invece, quando n > 10; ecc.). Questi risultati rientrano in quelli ottenuti 

 dal sig. Alphen e già accennati da lui nei Compi Rend. 



(4) Colia sola eccezione, per r = 5, della superficie di Veronese. 



