SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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Sulla rigata razionale normale di S r si abbia una curva di ordine n e genere 

 p = tt — k, la quale incontri ogni generatrice in m punti e sia priva di punti 

 doppi (1). Allora, oltre alla relazione 



? i r ■+■ 1 r — 1 ) , 

 p = n — k = x\ n g X -jj- ( — * 



dove X è il minimo intero non inferiore a n r , avremo anche quest'altra : 



p — ( m — 1) [n — — (m — 1) (2). 



Uguagliando fra loro queste due espressioni del genere j5 della nostra curva, 

 si deduce facilmente 



(1) J X - m + 1 || n - 1 - 1 X + m I *~ \ = k. 



Questa relazione può sussistere qualunque sia n, se k è nullo, purché si abbia 

 X = m — 1 (ossia m = \ -\- 1) (3). In casi particolari potrebbe annullarsi anche 

 il secondo fattore, ma si vede subito che, fra le soluzioni che se ne ricaverebbero, 

 la sola di cui si debba tener conto è quella che si avrebbe per m = \ -\- 2 (e 

 questo anche va d'accordo con quanto si è detto nella nota (4) a pag. 5). Ma se in- 

 vece k è diverso da zero, l'ordine n della nostra curva dovrà soddisfare a certe 

 condizioni che ora determineremo ; e così pure, volendo che esista sulla rigata R r_1 

 una curva Cp priva di punti doppi, non potremo più dare ad arbitrio il numero k 

 per cui p -\- k — tt. Pongasi infatti 



n = x ) 1 \ + l + 1 



(essendo perciò < l < r — 1). Allora la relazione (1) potrà anche scriversi: 



R k= )x-m + ir)x-m{ (r _i) + )x _ m+ l M . 



e ponendo ancora per brevità x — m -\- 1 = h, vediamo che il numero k dovrà 

 sempre essere del tipo 



(2) k = (r -1)+U 



(1) Sulla rigata razionale normale un punto che sia doppio per una curva tracciata su di essa 

 conta sempre come due fra le intersezioni della stessa curva colla generatrice che lo contiene (e 

 influisce quindi direttamente sul genere della curva). Ciò perchè la rigata razionale normale non può 

 avere essa punti doppi (cfr. anche C. Segre : Becherches générales sur les couròes et les surfaces réglées 

 algébriques ; II e partie; ■ Math. Annalen „, XXXIV). 



(2) Che si ottiene applicando una forinola del sig. Segre già ricordata in una nota preced. (n° 1). 



(3) E così appunto si ottengono, sulla rigata rT -1 , le curve di genere ir appartenenti a S r . 

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