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GINO FANO 



dove h è intero (e non nullo, se vogliamo sia k > 0). Dalla stessa relazione 

 n = x ) r — 1 ( -f~ l -f" 1 si ricava poi 



(3) n = l + 1 (mod. r — 1). 



Perchè possa dunque esistere sulla rigata R r_1 di S r una curva C„_ k (k > 0) priva 

 di punti doppi è necessario che il numero k e l'ordine n siano nello stesso tempo l'uno 

 del tipo (2) e l'altro del tipo (3) (1). Questo stesso risultato può ritenersi valido anche 

 nel caso di k — 0, perchè allora la relazione (2) è sempre soddisfatta per = 0, 

 e lascia anzi del tutto indeterminato il numero l, sicché la (3) non impone più al- 

 l'ordine n alcuna restrizione. 



6. Ma se la relazione (2), per un dato valore k, è soddisfatta da una certa coppia 

 di valori particolari di h e di l (2), essa rimarrà del pari soddisfatta quando le 

 stesse h e / si mutino rispett. in h' = — h e l[ — r — 1 — Z (3) ; perciò , per un 

 dato valore 



k = (r _ 1} j r U 



non saranno possibili (4) soltanto gli ordini n dati dalla (3), ma anche quelli per cui 



(3') n = — l -f 1 (mod. r — 1). 



Nelle relazioni (3) e (3') sono però compresi tutti i casi possibili. 



Le curve C*_,. delle quali è così prevista come possibile l'esistenza esistono 

 anche effettivamente, almeno a partire da un certo ordine, da un certo multiplo 

 cioè di r — 1 aumentato di l -f- 1 o diminuito di l — 1 (ordine e multiplo che di- 

 penderanno naturalmente dal numero k). Le curve il cui ordine è del tipo (3') si 

 possono tutte ottenere segando la rigata con una varietà M*_j che non la contenga 

 e non le sia tangente in alcun punto, ma passi per h (r — 1) -j- l — 1 sue genera- 

 trici (5). L'ordine x della varietà sarebbe il numero dei punti in cui si vuole che 

 la curva seghi ogni generatrice (6). — Invece le curve il cui ordine è del tipo (3) 

 non si possono più segare con varietà di ordine eguale al numero dei punti in cui 

 esse tagliano ogni generatrice, ma solo con varietà di un ordine alquanto più ele- 



(1) Ed è chiaro che, dati ad arbitrio k e n (ed r), non esisteranno in generale due numeri 

 interi h e l per cui queste condizioni siano soddisfatte. Dato n è determinato l, e dato k è deter- 

 minato h (colla condizione 0<.l <r — 1); ma nell'uno e nell'altro caso il valore di h o rispett. I 

 che ci è dato poi dalla (2) non sarà in generale intero. 



(2) Valori che, ove esistano, saranno sempre determinati e in modo unico, quando sia k > e 

 si voglia altresì 7* > 0; < l < r — 1. 



(3) Nel caso limite l = r — 1 si potrebbe anche mutare h in — — ^— 1) e ritenere l' — r — 1; 

 allora anche per l' si avrebbero i limiti < t < r — 1. 



(4) Possibili, in quanto cioè possano esistere sulla rigata R r ~ 1 curve di ordine n e genere ir — k 

 prive di punti doppi. 



(5) Essendo h e l definiti dal valore dato di k (cfr. anche la nota (2) qui sopra). 



(6) Si può dimostrare anzi, più generalmente, che ogni curva priva di punti doppi e tracciala 

 su di una rigata razionale normale R r— 1 in modo da incontrarne ogni generatrice in x punti può otte- 

 nersi come intersezione della stessa rigata con una varietà M^ —1 quando il suo ordine non sia supe- 



