SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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vato (1); e l'intersezione residua deve essere precisamente una curva di ordine 

 h (r — 1) — l — 1 incontrata da ogni generatrice in 2h — 1 punti, quando sia l<r — 2; 

 e una curva di ordine (h -\- 1) (r — 1), o rispett. (h -j- 1) (r — 1) — 1, incontrante 

 ogni generatrice in 2h -f- 1 punti quando sia invece l = r — 2 o r — 1. Curve cosi 

 fatte esistono sempre sulle rigate (o almeno su quelle di uno o più gruppi) (2); 

 potranno però essere riduttibili, e anzi nella maggior parte dei casi dovranno essere tali. 



In particolare, noi potremo segare sulla rigata R' _l delle curve di genere tt — k, 

 dove o < k < r — 2, mediante varietà M*_j condotte per r — 2 -)- k generatrici di detta 

 rigata, o per una direttrice di questa di ordine r — 2 — k. 



Se la varietà M*_j si conduce invece per 2r — 4, 2r — 3, 2r — 2, 2r — 1, ecc. 

 generatrici, la curva d'intersezione residua sarà del genere massimo (tt) diminuito 

 rispett. di r — 2, r — 1, r -\- 1, r -\- 3, ecc. unità. 



Si vede facilmente che le due serie di ordini n date dalle relazioni (3) e (3') 

 non possono coincidere, se r > 3, che per l = r — 1 ; quando cioè k è del tipo 



h ^ (r — 1) (3). Invece per r = 3 questa coincidenza ha luogo sempre (tanto 



se 1=1, quanto se 1 = 2). E nello spazio ordinario si trova precisamente che: Il 

 genere di una curva priva di punti doppi e giacente su di una quadrica è superato dal 

 genere massimo corrispondente all'ordine di essa di un mimerò che è sempre quadralo 

 perfetto o prodotto di due numeri naturali consecutivi, secondo che l'ordine anzidetto è 

 pari o dispari (4). 



Osserviamo infine che le cose dette in questo § per curve prive di punti doppi 

 valgono anche per curve di genere tt — k e con un certo numero k' di punti doppi, 

 purché al valore k dianzi considerato si sostituisca la differenza k — k' . Ciò segue 

 immediatamente dalla formola cit. del sig. Segre (Rend. Lincei, 1887), dalla quale 

 si deduce anche subito che la differenza k — k' non può mai essere negativa (5). 



riore a x (r — 1). — Il genere di una tal curva (supposta di ordine n) sarebbe infatti = {x — \)n — 

 — (2) r ~\~ CsT )■ Di PÌ n > se n — x ( f — 1)' i a Hxn segata su di essa dal sistema di tutte le M^_ x 

 di Sr è certo non speciale; la dimensione di questa serie sarà perciò £ « + (2) r — f^ 1 ), e per 

 la curva stessa dovranno passare almeno C^) — n — (2) r -f- C2" 1 ) — 1 varietà M^_ x indipendenti. 

 Ma per la rigata non ne passano che C^T*) — CI" 1 ) r (2) — 1 ancne l'ultima nota al n° 1); 

 vi sarà quindi, nelle nostre ipotesi, un sistema lineare almeno CO x ^ r ~ 1 '~ H di varietà M^ —1 passanti 

 per la curva C" e non per la rigata, — il che basta a provare il nostro asserto. Questa proposi- 

 zione fu già dimostrata nel caso di x — 2 (e in questo stesso modo) dal sig. Segee (Recherches 

 générales etc, I, 20; " Math. Ann. „, XXX). 



(1) E un ordine certo abbastanza elevato possiamo determinarlo facilmente in ogni caso, osser- 

 vando che una curva priva di punti doppi e tracciata su di una rigata razionale normale in modo 

 da incontrarne ogni generatrice in x punti può sempre ottenersi come intersezione della stessa 

 rigata con una varietà M^ti > purché il suo ordine sia inferiore a | a? — | — 2~|l r — 1 ^ — j — 1 _ La dimo- 

 strazione si conduce in modo affatto analogo a quella della nota precedente. 



(2) Per la distinzione delle rigate razionali in gruppi, v. C. Segre: Sulle rigate razionali in imo 

 spazio lineare qualunque (" Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino „, voi. XIX). — E si noti che 

 questa diversità fra i vari gruppi si presenta già, come vedremo subito, per i valori più piccoli di k. 



(3) Allora infatti la (3) e la (3') si riducono entrambe a n = l ... (mod. 1 — 1). 



(4) Questa proposizione si trova sostanzialmente già in Halphen (" Compt. Rend. „, t. 70). 



(5) Il sig. Castelndovo nella Nota cit. dei Rend. di Palermo (n° 10) ha dimostrato anzi che questa 

 stessa differenza le — le è sempre > per qualsiasi curva (irriduttibile) C di S.r (in altri termini, 

 che il numero k' dei punti doppi di una C~ deve essere <L tt — p). 



