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GINO FANO 



§ 4. 



Varietà basi di un sistema lineare co Ci 1 )-* di quadriche. 

 Dimostrazione di un teorema relativo a questi sistemi. 



7. Fatte queste poche osservazioni sulle curve contenute in una rigata razionale 

 normale R r ~ l di S r , e quindi in (V) quadriche indipendenti (e non in un numero 

 maggiore, se l'ordine loro supera 2r — 2), torniamo allo studio delle curve C" di S r 

 contenute in sistemi di quadriche di dimensione soltanto C7 1 ) — i; (i > 1). 



E proponiamoci anzitutto la questione analoga a quella di cui si occupa il 

 sig. Castelnuovo al n° 30 delle sue Ricerche: la determinazione cioè delle possibili 

 varietà basi di questi sistemi. Si vede facilmente che nello spazio S r un sistema 

 lineare di quadriche di dimensione ('7 1 ) — i non può avere (almeno per i < r — 2) 

 una varietà base appartenente a S r stesso e di dimensione superiore a due. Suppo- 

 niamo infatti che un tal sistema di quadriche abbia una M3 base (irriduttibile) ap- 

 partenente a S r . Segandolo con un S r _ 3 non contenuto in alcuna sua quadrica, — il 

 che (come osserva anche il sig. Castelnuovo per il caso di i = 1) è sempre possi- 

 bile — , avremo in questo spazio un sistema lineare di quadriche (M^_ 4 ) pure di 

 dimensione ('7 1 ) — i, e con x punti basi — in generale — dei quali possiamo anche 

 supporre che mai k A- \ (k < r — 3) stiano in uno stesso S^. Se fosse dunque 

 x > i — 1, bisognerebbe che le ML^ passanti per i — 1 (e forse anche meno) di 

 quegli x punti passassero di conseguenza anche pei rimanenti, e ciò per i < r — 2 

 ossia i — 1 < r — 3 (come qui supponiamo) non è certo possibile. Dovrà dunque 

 essere x < i — 1 e quindi, a fortiori, < r — 3, mentre invece è noto che una M 3 

 appartenente a S r deve essere di ordine almeno uguale a r — 2. Concludiamo perciò: 



Se un sistema lineare di quadriche di S r di dimensione ('"J 1 ) — i ha. infiniti punti 

 basi, questi, finché i < r — 2, non possono costituire, di varietà appartenenti a S n che 

 curve superficie. Se vi è una varietà base di dimensione superiore a due, questa deve 

 essere contenuta in uno spazio inferiore a S r (1). 



8. Ciò posto, seghiamo la curva C" (che supponiamo irriduttibile) con un iper- 

 piano (S r _ x ) tale che delle sue n intersezioni con essa r qualunque siano linearmente 

 indipendenti. Il sistema di quadriche proposto verrà segato dallo stesso S r _! in un 

 nuovo sistema, pure di dimensione C7 1 ) — i, e con quelle n intersezioni per punti 

 basi; e poiché le quadriche tutte di S r _ x formano un sistema di dimensione ( r t l ) — 1, 

 è chiaro che in questo nuovo sistema ogni quadrica passante per 



ì ('7 1 ) - 1 ( - ) (V) - i [ = 2 (r - 1) + i 



(1) Si può dimostrare anzi più generalmente (e in modo affatto analogo) che un sistema lineare 

 di quadriche (di S r ) di dimensione uguale superiore a ( r— worc può avere una varietà base di 

 dimensione (uguale superiore a) k e appartenente pure a S r . 



