350 



GINO FANO 



ad a mediante altrettanti S,_ 1? otterremo una serie semplice razionale di spazi, il 

 cui insieme costituirà una M[ _l+1 normale (1). Lo spazio a incontrerà quei vari S t _ t 

 secondo altrettanti S,_ 2 , quindi la varietà M, secondo una M,_x che risulterà di or- 

 dine r — i, e potrà anche scindersi in una M[zJ - ' 1 irriduttibile e in h spazi S,_! 

 (contenenti rispett. altrettanti S,_ 2 di questa M^). 



Ora, la varietà M[~ ,+1 è contenuta in ( r_ s +1 ) quadriche indipendenti di S r (2), e 

 di queste si vede facilmente che, se i < r — 1 (3), ve ne sono certo almeno oo r-t ~' 

 che contengono lo spazio a. Nel caso estremo i = r — 1 la varietà M-~ 1+1 è essa 

 stessa una quadrica passante per questo spazio ; se invece i < r — 2 (e così noi 

 supporremo sempre in seguito), vi saranno certo infinite quadriche passanti per la 

 varietà Mp~ ,+1 e per lo spazio a, e queste non passeranno di conseguenza per nessun 

 altro punto (e saranno precisamente co T_l4 " 1 ) (4). Ma queste quadriche passano già 

 tutte per i 2r -f- i punti A! ... A r _!, Bj...B,. +1 , C\... C É ; dovranno dunque passare 

 anche per gli altri i -f- 1 punti proposti (D 1? D 2 , D, +) ); e questi ultimi, non po- 

 tendo alcuno di essi stare nello spazio a, saranno tutti contenuti nella varietà M<~ ,+1 . 

 Faremo vedere ora che questa stessa varietà (ossia la M[r[ sua intersezione collo 

 spazio a) deve contenere anche gli r — 1 punti A. 



Lo spazio a, come abbiamo già detto, sega infatti la varietà Mr -,,+1 in una M^rJ 

 che può anche spezzarsi in una W~\~ h irriduttibile e in h spazi S,-_i. E chiaro che 

 fra gli S r _ 3 determinati dai punti A a r — 2 per volta ve ne sarà certo (almeno) 

 uno non contenente (per stare nel caso più generale) la M^l - ' 1 (h > 0); questo stesso 

 spazio (che chiameremo ct ( ) potrà contenere tuttavia un certo numero ti degli h 

 spazi S,_i, e segherà allora i rimanenti h — ti in altrettanti S t _ 2 , e la varietà 

 M[ , r{~'' in una Mj!Zj~ k " k ' dalla quale potrà ancora staccarsi qualche altro S,_ 2 ; l'or- 

 dine complessivo però di questa Mj_ 2 , compresivi tutti gli S t _ 2 (anche quei primi 

 h — ti), sarà r — i — 2ti. — Fra gli r — 2 punti A con cui si è determinato lo 

 spazio cii scegliamone ora r — 3 il cui S r _ 4 (ot 2 ) non contenga la M f _ 2 irriduttibile 

 teste ottenuta; questo spazio ct 2 potrà contenere della sezione precedente un certo 

 numero ti' di S,_ t e un certo numero /' di Sj_ 2 (oltre agli ti — h" in cui sega i 



(1) L'ordine di questa varietà si può stabilirlo con successive induzioni, partendo dai valori più 

 semplici di i. Che se poi il gruppo delle i intersezioni variabili di cui sopra fosse sempre conte- 

 nuto in un S,_2 , si giungerebbe a una varietà Mj~ 1 '~ t ~ 2 per la quale potrebbero farsi passare infi- 

 nite segate anche da a altrettanti una M t _j _ 



(2) Ciò essendo vero per i valori più semplici di i(i = 0, 1, 2) ne segue» facilmente che per la 

 M£~ ,+1 non possono certo passare più di (' — 2 +1 ) quadriche indipendenti. Osservato poi che, perchè 

 una quadrica contenga la M[ — >+1 , è certo sufficiente che ne contenga due sezioni piane e un punto 

 fuori di queste, si può tosto concludere (ammessa sempre la proposizione per i valori più piccoli 

 di i) che il numero di quelle quadriche non può nemmeno essere inferiore a ( r— P^ 1 ). La proposi- 

 zione sussiste tanto se la M t è irriduttibile, quanto se da essa si stacca, un numero qualunque 

 di Si (passanti per altrettanti S 4 -_! della Mi residua irriduttibile). 



(3) Restrizione che corrisponde alla i < 1 2 del n° 7, perchè qui siamo passati da S r _j a Sr. 



(4) Se queste quadriche passassero infatti tutte per un altro punto qualsiasi di Si , segando 

 coll'S^.j di questo punto e di a, si avrebbero nello stesso iperpiano almeno CO r ~ ' — 1 quadriche 

 contenenti un dato S r _ 2 , un dato S f _j (intersezione residua dell'S r _ 1 colla varietà Mi) e un dato 

 punto fuori di questi due spazi, il che è assurdo. Lo stesso ragionamento, astraendo da quest'ultimo 

 punto, prova altresì che quelle quadriche sono precisamente OC—'— 1 (e non di più). 



