SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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rimanenti S,_ t ), e l'incontrerà poi ancora in una jj>-j-w-v-8i' dalia quale potrà 

 staccarsi un certo numero di S,-_ s . Così continuando, giungeremo a un S r _i_ t (P) pas- 

 sante per r — i punti A e incontrante la varietà M^ - '" 5 " 1 secondo un certo numero 



di spazi Si.!, un certo numero n,_ 2 di spazi S t _,, un certo numero n 



di punti. 



Per la sezione determinata dallo spazio a l (h' spazi S,_i e una M[zj~ 2 ' 1 ') si ha 

 la relazione : 



2 . h' + 1 . (r — i — 2h') = r — i. 



Per quella successiva (/*" spazi Si_i, li' — h" -f- Z spazi S,_ 8 e una M^à -2 '" - ''"" 21 ') 

 si ha del pari 



3 . h" + 2 . (A' — A" -j- V) f Ì.(r-t- 2/j' — A" — 20 = r — i 



e così via. Per l'ultima si avrebbe (e lo si potrebbe provare facilmente col solito 

 metodo dell'induzione da un caso qualunque al successivo) 



i . -I- {i — 1) . n,_ 2 -j- -\- 2 . n x -f- 1 • n = r — i (1). 



Quest'ultima sezione potrebbe essere costituita in particolare da un gruppo di r — i 

 punti ; ma le nostre considerazioni più generali sono egualmente necessarie, non poten- 

 dosi asserire a priori che fra gli S r _ i _ 1 determinati da r — i fra i punti A ve ne 

 debba sempre essere uno che incontri M in soli r — i (e non in infiniti) punti. 



D'altra parte, dal fatto che per la varietà M, r_1+l e per lo spazio a passano 

 precisamente co r_1 ~' quadriche segue tosto che si può scegliere (e in infiniti modi) 

 un sistema lineare di dimensione ( r 7') — 1 costituito da quadriche passanti tutte 

 per la varietà M- _+1 e non per a; e perciò ogni quadrica di quest'ultimo spazio 

 passante per la M t 'Zj di cui sopra potrà ottenersi come sezione di una quadrica di S r 



passante per la M ; stessa (e non per a). — Analogamente, fra le ocA 2 ' quadriche 

 di a che passano per la sezione MJz{ ve ne sono co h '~ 1 che contengono lo spazio (2); 

 si potrà quindi dal loro sistema stralciarne uno, pure lineare, di dimensione { r j ) — h' — 1, 

 nel quale nessuna quadrica contenga quest' ultimo spazio. E questo stesso (ossia 



co ' ) è anche il numero delle quadriche dello spazio a, che passano per la 

 sezione determinata da esso nella varietà M.[Zl (o nella M? - ' 4 " 1 ) (3) ; ciascuna di queste 



(1) In termini meno esatti ma forse più espressivi si potrebbe dire (ed è, d'altronde, anche 

 quasi evidente) che una retta contenuta in un Sj-_i della Mi conta in questa sezione come due 

 punti, un piano come tre, ecc. 



(2) E sono quelle che si spezzano in dj stesso e in un S r _ 3 variabile attorno al- 



*-*f}+«_it_i = S r -h'—2 della M£Zi~ costituita dalla stessa M^ 1 meno gli h' spazi S ; _j che 

 sono già contenuti in a,. 



(3) Infatti le quadriche indipendenti che contengono la M;~2 _ ^ sono, nello spazio S r _2h'—S cu i 

 questa appartiene, ( r— 'jf ZA ); e nello spazio S r _ 3 = a f 



+ (*" - 2h ' - ij 4 " (r - 2A') + -f- (r - 2) = (VO + 2A' (• - 1). 



Queste ultime devono ancora assoggettarsi a contenere ti spazi S,-_ x , di ciascuno dei quali conten- 



