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GINO FANO 



ultime sarà dunque sezione di una delle prime, ossia di una quadrica di S r passante 

 per M, r ~ ,+1 e non per a y . Fra quelle stesse quadriche dello spazio ctj possiamo ora 

 trovarne un sistema lineare di dimensione ( r l l ) — In! — 2h" — V — 1, nel quale nes- 

 suna varietà contenga lo spazio a 2 (1); e questo numero è anche quello delle qua- 

 driche di a 2 stesso che passano per la sezione determinata nella varietà M, da que- 

 st'ultimo spazio (2). Così continuando, si conclude facilmente che le quadriche dello 

 spazio 8 passanti per la sezione determinata da questo stesso spazio in Mi sono 

 precisamente tante quante quelle di S r che passano per M' _H "' e non per 8 (3); e 

 perciò una qualunque delle prime può sempre ottenersi come sezione di una di queste 

 ultime. In particolare, se fra quelle prime quadriche ne consideriamo una passante 

 per un certo numero , ad es. per r — i — 2 fra gli r — i punti A che stanno in 8 

 — supposta la cosa possibile — , la quadrica di S,. (passante per M ; ) di cui quest'ul- 

 tima quadrica può considerarsi come sezione dovrà pure contenere quegli stessi 

 punti. Ma questa quadrica di S T passerà allora per la varietà M, r_,+1 , quindi per tutti 

 i punti B!..... C t D t (in numero di r -f- 2i -f- 2), e conterrà perciò complessiva- 

 mente già 2r -f- % fra i punti proposti ; essa dovrà dunque contenere anche i rima- 

 nenti » - -|- 1, e in particolare quegli altri due punti A che stanno in 8. Questi ultimi 

 staranno perciò anche sulla quadrica di 8 prima considerata, ossia : 



" Le quadriche dello spazio 8 passanti per la sezione che questo spazio deter- 

 " mina nella varietà M, e per r — i — 2 qualunque fra i punti A in esso spazio 

 " contenuti passano anche tutte per gli altri due fra questi stessi punti „. 



gemo già un S,-_g fìsso, e ciò equivale a nuove ti {2i — 1) condizioni, che è facile anche riconoscere 

 come tutte distinte. E si ha precisamente: 



( Y) + W [i - 1 - ti {2i - 1) = (V) - ti- 



(1) E ciò perchè quest'ultimo spazio è a sua volta contenuto in un sistema lineare di quelle 

 stesse quadriche di dimensione 2h" -\- V — 1. Questo numero deve essere infatti quello degli S r _^ 

 di a! che passano per la sezione determinata da a, stesso in M, astrazion fatta dagli ti' spazi S 



e dagli V spazi S,-_ 2 già contenuti in a 2 . Ora la M e '_ 2 di a t (compresivi tutti gli S,-_ 2 ) è di ordine 

 r — i — 2ti; senza quegli X spazi resterà dunque di ordine r — ì — 2ti — X , e apparterrà perciò a un 

 [r — 2ti — X — 3]. E quest' ultimo spazio, insieme ai rimanenti ti — ti' spazi S,-_i , determina un 



[r — 2h" — X — 3] pel quale in a, passano appunto C0 2h ~*~ l ~ 1 S r _ i . , 



(2) Per la sola M e _ 3 di a 2 (che , compresivi tutti gli S,_ 3 , è di ordine r — i — 2ti — ti' — 2X) 

 passano, nello spazio cui essa appartiene, ( r— !— 2h> 2~ h ~ 21 ) quadriche indipendenti; nello spazio a 2 

 ne passano invece ( r ^"') 4" {2ti -\- ti' -\- 2X) (i ■ — 2). Queste ultime devono ancora obbligarsi a passare 

 per ti — h"-\-l' spazi S,_ 2 e per ti' spazi S ; __j (già segati in altrettanti S t -_ 4 fissi); il che equivale 

 complessivamente a {ti — ti' -\- X) (2* — 3) + ti' {di — 3) condizioni (e ancora tutte distinte). E il numero 



( r 2 ') + (2ti + ti' -f 2X) (f — 2) — {ti — ti' + X) {2i — 3) — ti' (3* — 3) 



si riduce precisamente a 



(*•-') _ h' — 2h" — V. 



(3) Questa proposizione sarebbe evidente o quasi quando lo spazio P segasse ,+1 in soli 

 r — i punti ; allora non vi sarebbe anzi in a nessuna quadrica passante per la ~f e per (3. Ma, 

 come già si è detto, non possiamo asserire di poterci sempre ridurre a questo caso. 



