SOPRA LE CDRVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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Da ciò noi dedurremo subito che gli r — i punti A dello spazio p 1 devono stare 

 tutti sulla sezione che questo spazio determina in M { (e quindi su M 4 stessa). 



Abbiamo già veduto infatti come tale sezione sia costituita. Consideriamo per- 

 tanto uno qualunque S« degli spazi in essa contenuti (o s u < i — 1) (1), e poniamo 

 per brevità r — * — 1 = p. Fra gli r — i = p -j- 1 punti A dello spazio S P = p 

 possiamo sempre trovarne uno non contenuto in Su (2) ; poi un altro non contenuto 

 nell' Sjlh-i di S u e di questo primo punto, un terzo non contenuto nell'Su + 2 di questo 

 S u+ i e del secondo punto, ecc. Possiamo infine, fra gli stessi p — {— 1, trovarne p — u 

 i quali insieme allo spazio Su costituiscano un gruppo appartenente a S/>. Chiame- 

 remo questi punti A™ , A« u ; i rimanenti, A<g>, Af, , A«. 



Dalla relazione i . -\- -f- n o — *' — i = p + 1 segue altresì che , tolto 



lo spazio S^, i rimanenti che con esso concorrono a formare la sezione di (B colla 

 varietà M; staranno certo in un S^—^-i. Considero ora lo spazio S P _i = j determi- 

 nato da questo S^-u-i e da u qualunque fra i punti A' 2) (escludendone perciò uno 

 qualsiasi A'*') (3), e poi un altro S P _i, che chiamo ò, determinato dall' S^ di cui 

 sopra e da p — u — 1 qualunque fra i punti A 1 ' (tutti ad es. meno A 1 } 1 ). Questa 

 coppia di S f _i è una quadrica di S P contenente già l'intera sezione (3 . M< e p — 1 

 fra i punti A (tutti meno A 1 , 1 e A 1 ? 1 ); la stessa quadrica dovrà dunque passare anche 

 per questi ultimi due punti. Ma A 1 } 1 non può stare in ò (perchè l'insieme di S^ e dei 

 punti A 111 appartiene a S r ); starà dunque in t, e ciò qualunque sia l'indice t scelto 

 fra i numeri 1, 2, ... , p — u; in altri termini, lo spazio t dovrà contenere tutti 

 quanti i punti A 11 ; e contenendo perciò complessivamente già p punti A, non potrà 

 più contenere A 1 *'. Quest'ultimo punto starà dunque in ò, e ciò ancora qualunque sia 



fra gli indici 0.1.2 u quello designato con s ; in altri termini , tutti i u -j- 1 



punti A (i| dovranno stare nello spazio ò — e anzi in ciascuno dei p — u spazi S^_i 

 che congiungono FS^ considerato da principio a p — u — 1 qualunque dei punti A (1) — ; 

 essi staranno perciò anche nell'S^ stesso che è precisamente l'intersezione di tutti 

 questi spazi. 



Segue da ciò che uno spazio qualunque S^ appartenente alla sezione {$ . deve 

 contenere u -\- 1 fra i punti A dello spazio (ì; e questi punti varieranno anche tutti 

 da uno di quegli spazi all'altro, perchè due qualunque di questi ultimi non si incon- 

 trano (4). Avendosi poi la relazione X (u -f- 1) = p -\- 1, è chiaro che i p -f- 1 

 punti A verranno tutti assorbiti dai vari spazi S^ e staranno perciò tutti sulla se- 

 zione p . M,. 



(1) Se detta sezione si componesse di (soli) r — i punti, non potrebbe essere, naturalmente, che 

 u = 0. Il nostro ragionamento vale però (come si vedrà subito) anche per questo caso. 



(2) Farebbe eccezione il solo caso in cui fosse M = p ; ma allora lo spazio S/> = sarebbe tutto 

 contenuto in M, , e su questa varietà starebbero perciò senz'altro tutti i p -f- 1 punti A. 



(3) Per il momento, non si potrebbe ancora asserire che lo spazio f rimanga con ciò indivi- 

 duato; certo pere che vi è qualche S._i passante per quell'S^u^ e per questi u punti. Dal' 

 seguito del ragionamento apparirà poi che non può esservene che uno. 



(4) I vari spazi Su sono contenuti infatti rispett. in altrettanti S^_i di ' ; e due qua- 

 lunque di questi S,_, non si incontrano, a meno che la varietà stessa non sia un cono ■ — nel qua! 

 caso ci converrà (e basterà) prendere lo spazio non incidente all'asse (al più S 4 '_ 2 ) di questo cono. 



Serie II. Tom. XLIY. 



