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GINO FANO 



La varietà M- -,+1 di S r contiene dunque certo (r — i) -j- (r -\- 1) -{- i -\- (i -j- 1) 

 ossia 2r -j- i -f- 2 fra i punti proposti ; conterrà perciò anche i rimanenti i — 1 

 (perchè le quadriche passanti per essa non passano, di conseguenza, per nessun altro 

 punto) ; e la proposizione enunciata al principio di questo n° rimane così dimostrata. 



Il teorema si estende manifestamente al caso di un numero di punti anche su- 

 periore a 2(r -f- i) -f- 1, purché sempre le quadriche passanti per 2r -|- i qualunque 

 fra questi passino di conseguenza anche pei rimanenti. — Nel caso di i = 1 questo 

 teorema coincide con quello già dato dal sig. Castelnuovo nelle sue Ricerche (n° 30); 

 veniamo quindi addirittura a svilupparne le conseguenze più importanti per il caso 

 di i = 2. 



§ 5. 



Sistemi lineari oo^ 1 ) -2 di quadriche e loro varietà basi. 

 Superficie di ordine r a sezioni ellittiche. 



10. Facendo nel teorema del n° 9 i = 2, troviamo la proposizione seguente: 



Se nello spazio S,. (r > 4) si ha un gruppo di 2r -f- 2 -j- x punti indipendenti e 

 tali che le quadriche passanti per 2r -f- 2 qualunque fra essi passino sempre di conse- 

 guenza pei rimanenti x, questi punti, se x > 3, staranno tutti su di una rigata razio- 

 nale normale R r_1 (che sarà anche segata in una curva di ordine r — 2 dall' S,_ 2 di 

 r — 1 fra quei punti). 



Dico ora che, nella stessa ipotesi x > 3, le quadriche passanti per quei primi 

 2r -J- 2 punti devono avere non solo x, ma infiniti altri punti a comune. Infatti, se 

 così non fosse, fra le quadriche passanti per quegli stessi punti se ne potrebbe certo 

 trovare qualcuna che incontrasse la rigata R' _1 secondo una curva irriduttibile (di ordine 

 2r — 2 e genere r — 2) (1). Su questa curva le quadriche di S r segherebbe una 

 gllZ* (2) ; imponendo loro perciò di passare per 2r -f- 2 fra i punti proposti (3), 

 rimarrebbe una gl?* 6 con x punti fissi; cosa che è evidentemente assurda per x > 2. 



Concludiamo pertanto: 



Se nello spazio S r (r > 4) si ha un gruppo di 2r -j- 5 o più punti indipendenti e 

 tali che le quadriche passanti per 2r -4- 2 qualunque fra essi passino sempre di conse- 

 guenza pei rimanenti, queste quadriche avranno a comune infiniti punti (e quindi tutta 

 una linea, passante per una parte almeno di quegli stessi punti). 



(1) Se questa curva dovesse necessariamente spezzarsi, se ne concluderebbe tosto ch'essa deve 

 contenere una parte fissa comune a tutte le quadriche passanti per i 2r-\-2-\-x punti proposti (e 

 passante a sua volta per una parte almeno di questi punti). Non sarà forse inutile l'osservare che 

 per questi stessi punti passa un sistema lineare (almeno) OO r— 3 di quadriche non contenenti la 

 rigata R r_1 . 



(2) Infatti la curva C 2 .^ 2 sta precisamente su ( r IT 1 ) -j- 1 quadriche indipendenti. 



(3) Punti che possiamo supporre impongano condizioni tutte distinte (se no si cadrebbe nel 

 caso di i — 1). 



