SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 



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Ovvero anche: Se un sistema lineare di quadriche in S r ha un certo numero 

 k (> 2r -|- 3) di punti basi indipendenti e tali che le quadriche 'passanti per 2r -j- 2 

 qualunque fra essi contengano sempre di conseguenza anche i rimanenti (ma non con- 

 tengano altri punti fissi) sarà certo k < 2r -f- 4. 



11. Da questi risultati, riuniti alle considerazioni di cui al n° 8, deduciamo 

 ancora : 



Se per una curva (irriduttibile) appartenente a S r (r > 5) e di ordine n > 2r -(- 2 

 passano Cj 1 ) — 1 quadriche indipendenti, queste quadriche avranno a comune tutta una 

 superficie passante a sua volta per quella curva. È facile anzi riconoscere che questa 

 superficie non potrà essere di ordine superiore a r (1); ciò perchè un sistema lineare 

 di quadriche (M*_ 3 ) di S r _ 2 di dimensione C7 1 ) — 2 non può avere più di r punti 

 basi indipendenti, a meno di non averne infiniti. Dunque : 



Se per una curva (irriduttibile) appartenente a S r (r > 5) e di ordine superiore a 

 2r -}- 2 passano ( r 7 l ) — 1 quadriche indipendenti, la stessa curva dovrà stare su di una 

 superficie di ordine < r (e quindi di ordine r r — 1) comune a queste quadriche. 



in altri termini: Se nello spazio S r (r > 5) un sistema lineare di quadriche di 

 dimensione Ci 1 ) — 2 ha infiniti punti basi, questi punti non potranno costituire {di 

 varietà appartenenti ad S r ) che una curva di ordine < 2r -f- 2 una superficie di 

 ordine < r (2). 



Tenuto conto infine di quanto si è detto nel § 2 sull'ordine di una curva di 

 genere tt — k per la quale si vuole che passino (almeno) (V) — 1 quadriche indi- 

 pendenti, abbiamo : 



Una curva normale, la quale appartenga ad S r (r > 5) e sia di genere ir — k e di 

 ordine superiore a 



— 2~ (r — 1) + 2 oppure — ^- (r — 1) -f 3 



secondo che k j>ari dispari, sta sempre su di una superficie di ordine r r — 1 

 (comtme a tutte le quadriche che la contengono) (3). Se non sta dunque sulla rigata R r ~~ 1 

 sulla superficie di Veronese (nel caso di r = 5), sarà certo contenuta in una su- 

 perficie di ordine r. Supposto k > 0, fa eccezione il solo caso di k = 1 nel quale, 

 anziché n > 2r -j- 1, bisogna supporre n > 2r -\- 2. 



12. Ora, una superfìcie di ordine r appartenente a S r può avere le sezioni ra- 

 zionali od ellittiche. Nel primo caso si hanno le rigate razionali ma non normali, 

 bensì proiezioni di quelle di ugual ordine appartenenti a S r +i; e di più, per r = 4, 



(1) E la linea di cui è fatta parola nel penultimo enunciato del n° 10 non potrà quindi rie- 

 scire di ordine superiore a r + 1. 



(2) Con questo non intendiamo però escludere che, almeno se quegli ordini massimi non sono 

 raggiunti, vi possa essere anche qualche ulteriore punto base (isolato), oppure, nel secondo caso, 

 oltre la superficie, anche una curva base non contenuta in questa. 



(3) Sappiamo anzi che questa superficie può essere di ordine r solo quando l'ordine della curva 

 sia < {k -\- 2) (>•— 1) + 1. 



