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GINO FANO 



una superficie non rigata contenente una oo 2 di coniche, proiezione precisamente 

 della superficie di Veronese da un punto esterno ad essa (1). Ma per le rigate razio- 

 nali di ordine r e appartenenti a S r passano in generale solo — 3 quadriche 

 indipendenti se r > 4, e ne passa una sola se r = 4 ; e per la superficie di quart'or- 

 dine non rigata non ne passa, in generale, alcuna (2). Non sarà dunque sopra queste 

 superfìcie che potranno stare le curve C£ considerate di sopra; esse saranno invece 

 contenute (quando non stiano sopra F r_1 ) in superficie di ordine r a sezioni ellittiche. 

 E queste saranno anche le sole superficie di S r che possano essere varietà basi per 

 sistemi di quadriche di dimensione — 2 (3). 



D' altra parte è pur noto (cfr. Del Pezzo, loc. cit.) che una superficie d'or- 

 dine r (F r ) appartenente a S, e colle sezioni ellittiche è sempre rigata per r > 9; e, 

 se rigata, è necessariamente un cono (4). Per r < 9 esistono invece in S r delle super- 

 ficie di ordine r a sezioni ellittiche e non rigate, che sono razionali e, se di ordine 

 inferiore a 9, si possono anche ottenere (con una sola eccezione, per r = 8) come 

 proiezioni della F n di S 9 . Queste superficie, studiate per la prima volta dal 

 sig. Del Pezzo, sono quelle appunto che rappresentano i sistemi lineari di cubiche 

 piane con 9 — r punti basi; e in quel caso speciale accennato per r = S (super- 

 ficie F 8 di seconda specie) il sistema delle quartiche piane con due punti doppi fìssi. 

 Dunque: 



Se nello spazio S r un sistema lineare di quadriche di dimensione C7 1 ) — 2 ha infi- 

 niti punti basi, questi punti, per r > 9, non potranno costituire (di varietà apparte- 

 nenti ad 8 r ) che una curva di ordine non superiore a 2r -\- 2 (5) ; oppure un cono 



(1) Per queste superficie, e per le altre (non rigate) pure di ordine r e appartenenti a Sr, cfr. 

 ad es. Del Pezzo: Sulle superficie del n° ordine immerse nello spazio din dimensioni (" Rend. Circolo 

 Mat. di Palermo „, I). 



(2) Infatti, se una superfìcie di Sr si può ottenere come proiezione di altra appartenente 

 a S,.^! , è chiaro che le quadriche di Sr passanti per la prima saranno tante quanti i coni quadrici 

 di S,.^ che passano per la seconda e hanno il vertice nel centro di proiezione. Nel nostro caso 

 si tratta di superficie di ordine r che appartengono ad S r e sono proiezioni di altre di egual ordine 

 appartenenti a S r+1 ; e fra le (2) quadriche indipendenti (di S r+ i) che passano per una di queste 

 ultime superficie non vi sono in generale (come si vede subito) che soli C"^ 1 ) — 3 coni col vertice 

 nel centro di proiezione (che è un punto assolutamente arbitrario in S r+1 , purché esterno alla 

 Fr considerata). Però, se r == 4 e quindi >• -|— 1 = 5 — e in questo solo caso — , ogni punto dello 

 spazio 8 r +i = S s sta sopra una corda della rigata normale Rr = R 4 , corda che è asse di un cono 

 quadrico di 2 a specie (Sj - cono) passante per la rigata medesima; sicché la R 4 di S 4 viene ad 

 avere un punto doppio e a stare a sua volta in un cono quadrico col vertice in questo punto. — 

 Questa stessa eccezione non si presenta invece per la F 4 non rigata, che non ha, in generale, punti 

 doppi. Solo quando il centro di proiezione si sia preso nel piano di una conica della superficie 

 normale (di Veronese), essa viene ad avere tutta una retta doppia (come può succedere anche per 

 la rigata) e a stare perciò sopra un intero fascio di quadriche (in questo caso, di coni quadrici); 

 ma allora essa può considerarsi (e così intenderemo che sia) come un caso particolare della F 4 a 

 sezioni in generale ellittiche, che è intersezione generale di due quadriche di S 4 . 



(3) Intendiamo naturalmente (qui ed in seguito) che per queste superficie non passino altre 

 quadriche all'infuori di quelle contenute nel sistema accennato. 



(4) Cfr. C. Segre : Sulle rigate ellittiche di qualunque ordine (" Atti R. Acc. di Torino „, XXI) oppure 

 la Mem. cit. nei " Math. Ann. „, XXXIV; n° 14. 



(5) V. la nota (2) a pag. prec. 



