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GINO FANO 



Il caso di una curva per la quale si possa condurre un cono normale ellittico 

 ci appare dunque, quasi direi, come eccezione. E si potrebbe anche asserire (e ciò 

 apparirà meglio in seguito) che per r > 9 una curva di S r di genere tt — k e di 

 ordine superiore ai limiti già più volte ricordati sta in generale sulla rigata razionale 



normale E r l ; e quindi sulle ocr 2 ' quadriche che contengono questf ultima superficie. 



§ 6. 



Sulle curve di genere n — 1. 



14. — I risultati ottenuti nel paragrafo precedente si applicano a lor volta alle 

 curve di genere tt — 1, per le quali (com'è noto) passano sempre almeno ( r 7 l ) — 1 

 quadriche indipendenti; e non riuscirà forse privo d'interesse l'esaminare un po' più 

 da vicino i vari casi che queste curve possono presentare. Basterà naturalmente che 

 ci occupiamo di quelle di ordine n < 3r — 1 (1); e potremo anche limitarci alle curve 

 speciali, supporre cioè altresì n > 2r. Posto pertanto n = 2r-\-i dove < i < r — 1, 

 ed osservato che all'ordine 2r -j- i deve corrispondere il genere massimo tt == r-\-2i -\- 1, 

 è chiaro che le curve da considerarsi saranno del tipo C^J+J (2). 



E anzitutto: quali fra queste curve possono stare sul cono normale ellittico? 

 È chiaro che una contenuta in questo cono dovrebbe avere un punto i pl ° nel 



vertice, e incontrare ancora ogni generatrice in due altri punti. Supposto pertanto 

 che una tal curva abbia (all'infuori del vertice) r punti doppi, potremo scrivere 



r -f 2i = 1 . r 4- 1 + i . 1 ' — .9 



ossia i== 1 — z\ relazione che (dovendo essere i > 0, z > 0) è soddisfatta solo per 

 i = 1, z — 0. L'unica delle nostre curve che possa stare sul cono ellittico è dunque 

 la C^j 1 ; questa dovrà passare (semplicemente) pel vertice del cono, e non avrà 

 punti doppi. 



Ciò posto, osserviamo che la curva G 2r+i , essendo di genere r -\-2i, conterrà 

 come serie canonica una ^^«i ; e siccome su di essa gli iperpiani (S,_i) segano una 

 y r 2r+ìi C0S1 v ^ sar ^ P ure > come residua di quest'ultima, una g\~l 2 (3). La considerazione 

 di questa serie residua sarà, come vedremo, fondamentale per lo studio che ci siamo 

 proposti. 



(1) Se l'ordine fosse più elevato (w>3r — 1) la curva starebbe certo su di una superfìcie di 

 ordine r — 1 (v. § 2). 



(2) E queste curve sono anche tutte normali, perchè una (j 2r+i di Sr+) non può essere di 

 genere superiore a (r -\- 1) + 2 (i — 2) -f- 1 == r -j- 2i — 2 (quando sia i> e 



(3) E nota la proprietà caratteristica di queste serie (reciprocamente) resìdue; che cioè un 

 gruppo dell'una e un gruppo dell' altra , presi pur comunque , formano sempre insieme un gruppo 

 della serie canonica (j/fp-^)- 



