SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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15. E cominciamo col supporre i= 1 (1). Avremo curve C 2 ^ 1 di S,, nelle quali 

 la serie lineare segata dagli iperpiani ha per residua una g\. Queste curve si possono 

 dunque tutte ottenere come proiezioni delle C 2 ^; 2 (canoniche) di S r +i rispett. da loro 

 punti (2). Sono in generale prive di punti doppi; ne acquistano uno soltanto quando 

 contengono una #3, il che non si verifica, in generale almeno, se r -j- 1 > 3, ossia 

 r > 2 (3). 



16. Poniamo i = 2, quindi r > 3 (4); avremo curve del tipo C 2 ^ 2 , e queste 

 contengono una g\. Potrebbe questa g\ avere un punto fisso (5), e la nostra curva 

 sarebbe allora proiezione di una C 2 ! 4 " 3 di S r +i, starebbe sopra una rigata razionale 

 normale, e ne segherebbe ogni generatrice in tre punti; avrebbe anche sempre un 

 punto doppio. 



Escludiamo questo caso, e supponiamo quindi la g\ priva di punti fissi. Si può 

 domandare se e quando i suoi gruppi possano essere collineari. Supposto che lo siano, 

 e applicando alla serie la formola più volte cit. del sig. Segre (Rend. Lincei, 1887), 

 si vede che la cosa risulta possibile in due soli casi, cioè per una C" di S 4 con punto 

 doppio e per una di S 5 priva di punti doppi; curve che stanno rispett. sulle 

 rigate R 3 e R 4 e ne tagliano ogni generatrice in quattro punti (6). 



Se poi i gruppi della g\ non sono collineari, essi staranno però certo in altret- 

 tanti piani (cfr. Castelnttovo, Ricerche ecc., 14); e questi piani costituiranno una 

 serie oo 1 razionale, normale (perchè è tale la nostra curva), e quindi di ordine r — 2 (7); 

 una varietà M 3 -2 dunque, che conterrà la C 2 ^+ 2 . E poiché le quadriche di S r passanti 

 per questa varietà formano un sistema lineare di dimensione C2 2 ) — 1, vi sarà certo 

 un altro sistema, pure lineare, di dimensione 



! Ci 1 ) -.2.1- I ( r r 2 ) - 1 [ - 1 = r - 4 



e costituito da quadriche passanti tutte per la curva C 2r+2 , ma non per la varietà 

 Ml~\ Queste quadriche segheranno già ogni piano di Wf 2 in quattro punti fissi 

 (formanti un gruppo della g\); imporre dunque ad una di esse di contenere uno di 



(1) Le proposizioni generali trovate precedentemente non sono applicabili ai casi di i=\ e 

 i — 2, nei quali la curva in discorso risulta di ordine ^ 2r -(- 2. La trattazione di questi casi è 

 però ugualmente interessante, e servirà nel tempo stesso a render più completo il nostro studio. 



(2) In generale, una curva speciale C" di S r si può ottenere come proiezione di una C""'" 1 di 

 S r+ i quando la serie residua (rispetto alla serie canonica) della g r n da essa rappresentata ha qualche 

 punto fisso. È questa la traduzione (per le curve degli iperspazi) del teorema inverso del Reduc- 

 tionssatz di Noethee. 



(3) Se la C 2 .*^ 2 di S^^_j sta (come può effettivamente stare) sul cono normale ellittico di or- 

 dine r -f- 1 — epperò contiene (condizione necessaria e sufficiente a ciò) una serie CO 1 ellittica di 

 coppie di punti — la sua proiezione in S r starà sul cono ellittico di ordine r; è così che si ottiene 

 quell'unico caso già considerato di curva di genere tt — 1 giacente su di un tal cono. 



(4) Essendosi supposto * <C r — 1, i risultati che otterremo per un dato valore di i varranno 

 solo per r~>i-{- 1 (ossia per gli spazi superiori a S,^ ). 



(5) Più di uno, si vede subito che non può averne. 



(6) Queste curve si possono ottenere .come intersezioni delle rigate che le contengono con 

 varietà del quarto ordine condotte per due rispett. quattro loro generatrici. Nel primo caso la 

 varietà Mg* dovrebbe anche toccare la rigata R 3 in un suo punto. 



(7) Da ciò segue altresì che mai tre punti di uno stesso gruppo della g\ potranno essere collineari. 



