SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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Questo ragionamento non è più applicabile (tutto almeno) al caso di r = 4. Dal 

 fatto però che per la G\ n di S 4 passano sempre co 1 quadriche (tutte quelle cioè di 

 un fascio) segue senz'altro che questa curva dovrà stare sulla superficie F* comune 

 a quelle stesse quadriche (e uno dei coni del fascio sarà precisamente costituito dai 

 piani che contengono i singoli gruppi della g\). 



Riassumendo dunque, abbiamo : Una curva C 2 ^+; 2 di S r (r > 4) la quale non stia 

 sulla rigata R r_1 sta in generale su di una superficie razionale normale di ordine 

 ~2~ {secondo che r è numero pari o dispari) a sezioni iperellittiche di genere 



o rispett. ; e può ottenersi precisamente come intersezione di questa superfìcie 



con una quadrica passante per ^-5- o sue coniche. L'ordine della superfìcie, e cor- 

 rispondentemente il genere delle sue sezioni e il numero di queste coniche, possono però 

 abbassarsi e ridursi rispett. fino ai valori limiti r -j- 1, 2, 0; in quest'ultimo caso la 

 superfìcie può anche essere un cono di ordine r -f- 1 e genere due. — Infine per r < 8 

 la curva C 2 ^ 2 può anche stare su di una F r razionale a sezioni ellittiche comune a 

 tutte le quadriche che la contengono (e ciò si verifica anzi sempre per r==4) (1); e per 

 r = 5 esiste anche una G\ z contenuta in una F| di Veronese. 



Queste curve sono tutte prive di punti doppi, meno l'ultima (Ci, 2 di S 5 ) che ne 

 ha uno (2). 



17. Per i > 3 lo studio delle curve C 2 ^} di S r rimane assai facilitato, potendo 

 noi già asserire a priori (in forza di teoremi precedenti) che ciascuna di queste curve 

 dovrà stare su di una superficie normale a sezioni razionali od ellittiche. Sappiamo 

 anzi che questo secondo caso potrà presentarsi solo per r < 9 (e anzi solo per r < 8 

 se l'ordine 2r-|-i = 18-j-i della curva in S 9 non è un multiplo di 3); ma possiamo 

 anche ritrovare la stessa cosa per altra via. 



(1) Questo ci è confermato (almeno in parte) anche dall'enumerazione delle costanti, la quale 

 ci dice appunto che la Q^+i generale non sta certo sulla F r razionale a sezioni ellittiche se r > 4 , 

 ma può forse starvi per r = 4. Infatti le curve C 2 . ^ 2 di Sr formano, tutte insieme, un sistema 

 di dimensione almeno uguale a (r -j- 1) (2r -f- 2) — (r + 3) (r — 3) ossia r 2 -4- 4r -4- 11 (cfr. Castelnuovo : 

 Numero delle involuzioni razionali etc; " Rend. Acc. dei Lincei „; serie II, 1889). Quelle invece che stanno 

 sopra una F r a sezioni ellittiche (esclusa almeno la F 8 di seconda specie) ne formano uno di dimen- 

 sione {r ì + 10) -+- (3r + 5) = r 2 + 3r + 15. (Infatti le F r di Sr a sezioni ellittiche sono OO r2+10 (r < 9), 

 e su ciascuna di queste le C 2 r | ~t[ 2 — che si rappresentano con C 7 piane aventi nei 9 — r punti fon- 

 damentali rispett. un punto triplo e 8 — r punti doppi — formano (per r ^ 8) 9 — r sistemi lineari 

 di dimensione appunto 35 — 6 — 3 (8 — r) = 3r-j- 5). E questo secondo numero (r 2 + Sr -f- 15), infe- 

 riore al primo per r > 5, diventa invece eguale ad esso per r = 4. 



(2) Volendo fare a parte la ricerca delle C 2 .!^ 2 con punto doppio, si potrebbe osservare che 

 queste ultime contengono una g r <& X , quindi (come residua), una g\; e questa può essere composta 

 mediante una #3 (ma non altrimenti) — e allora si hanno le curve esistenti sulla rigata R r— 1 

 e considerate da principio — , oppure non composta (e senza punti fissi). In tal caso la C 2r ~*~ 2 deve 

 potersi riferire a una sestica piana, il che esige r -f- 4 Si 10, quindi r < 6, e anzi r < 5 perchè la 

 sestica piana generale non contiene alcuna g\. Per r = 4 si ha allora la Cg° di S4 coi gruppi della g\ 

 collineari; per r = 5, la Cg 2 di S B posta sulla superficie di Veronese. 



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