362 



GINO FANO 



Abbiamo già osservato che la curva contiene una serie lineare glil 2 - Perciò, 

 se questa serie non è composta e non ha punti fissi, quella curva sarà certo rife- 

 ribile a una GfTf. ( semplice ) di S,_i , sulla quale la g\~lz verrà segata dagli S,_ 2 

 contenuti nel suo Sj_i. 



La serie g^U non può essere composta. Infatti, essendo y - r < 4 (se i > 2), essa 



potrebbe tutt'al più essere composta con una serie co 1 di coppie o di terne di punti. 

 Quest'ultimo caso si esclude subito, perchè l'ordine 3i — 2 non è certo multiplo di 3. 

 Quanto al primo, esso potrebbe presentarsi soltanto quando i fosse pari; e, supposto 

 allora i = 2k, il genere della serie di coppie di punti non potrebbe superare il limite 

 (3A: — 1) — (2k — 1) = k (1). E questo ci porterebbe a concludere che le congiun- 

 genti di quelle stesse coppie di punti formerebbero una rigata di ordine < r — 1, 

 risultato che è manifestamente incompatibile colle nostre ipotesi (anche nel caso 

 estremo dell'ordine = r — 1). 



La serie glTl 2 può avere un punto fisso. Allora la curva è proiezione di una 



Q2r+i+i di g r+1 . s t a quindi sulla rigata razionale normale e ha un punto doppio. Le 

 generatrici di questa rigata determinano su di essa una g\, e la glTl z che si ottiene 

 dalla g&~A 2 col fare astrazione dal punto fìsso è precisamente composta con quest'ul- 

 tima serie. — E possiamo anche dire, inversamente, che ogni C 2 ^ di S r (i < r — 1) 

 tracciata sulla rigata R r_1 in modo da incontrarne ogni generatrice in tre punti deve 

 avere un punto doppio e può ottenersi come proiezione di una C 2r+i+l di S r+ i. — Più 

 di un punto fisso la glTÌ 2 non può avere. 



Escluse pertanto queste curve contenenti una gl, non resteranno che quelle ri- 

 feribili a una C 3 ' -2 di S,_! ; e siccome d'altra parte il genere di questa C 3 ' -2 non può 

 essere superiore a 15, se i = 3; a 16, se i — 4; e a 3 (i -(- 1) , se i > 4, potremo 

 concludere che, fuori della rigata R r ~', 



le curve possono esistere soltanto per r -4- 6 < 15 ossia per r < 9 (dunque 



per r = 5, 6, 7, 8, 9); 



le curve C 2 .^ 4 solo per r -f- 8 < 16 ossia per r < 8 (dunque per r = 6, 7, 8); 



le curve C 2 /^ (i > 4) solo per r -(- 2i < 3 (i -f- 1) ossia per r < i -f- 3 (dunque 

 per r = i -f- 2, i + 3); 

 e anzi queste ultime (come si vede facilmente) se r > 9 dovranno stare anch'esse 

 sulla rigata R r-1 , ma ne taglieranno ogni generatrice in quattro (anziché in tre) 

 punti (2). 



(1) La serie g\il.i si riduce infatti, su questa OO 1 di coppie di punti, a una 5f*_ì; e quest'ul- 

 tima serie è certo non speciale se 3k — 1 <.2{2k- — 1) ossia se 1. 



(2) Per r < 9 potranno invece essere contenute ancora in superficie di ordine r; ciò proviene 

 dal fatto che la curva C 3i ^ 2 di Sj_ 1; pur essendo in generale contenuta in una rigata R t—2 e in- 

 contrando le generatrici di questa in quattro punti, può tuttavia, p5r valori particolari di i, incon- 

 trare queste stesse generatrici in cinque punti, o anche stare sulla superficie di Veronese. — E questo 

 limite 9 (e anzi 8 quando l'ordine della curva, per r = 9, non risulterebbe multiplo di 3) mi sembra 

 veramente notevole. Certo che non ne abbiamo una nuova dimostrazione dei risultati già ottenuti 

 dal sig. Del Pezzo per le superfìcie razionali a sezioni ellittiche (in quanto specialmente queste non 



