SOPRA LE CURVE DI DATO ORDITsE, ECC. 



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18. Possiamo riassumere i risultati ottenuti sulle curve di genere tt — 1 e di 

 ordine compreso fra 2r -f- 1 e 3r — 2 (limiti inclusi) — curve quindi del tipo 

 Cf.^ (0 < i < r — 1) — nel modo seguente: 



Per ogni valore di r e di i esiste: 



Una con punto doppio e contenuta in una rigata razionale normale R r_1 della 



quale essa incontra ogni generatrice in tre punti; 



Per ogni valore di r abbiamo ancora: 



Una C 2 .^ 1 , in generale priva di punti doppi, che è sempre proiezione di una C 2 ^ 2 

 canonica di S r +i. Può contenere una serie ellittica di coppie di punti, e allora 

 sta sul cono normale ellittico di ordine r (e passa semplicemente pel vertice 

 di questo cono); 



Una C 2 /^ 2 , che contiene una g\ (lineare) e sta (in generale) su di una superficie 



1 — 1 



razionale normale a sezioni iperellittiche di genere < — ~— . Questa stessa curva 



può contenere una serie co 1 di genere due di coppie di punti, ed è allora inter- 

 sezione del cono normale di genere due (e ordine r -\- 1) con una quadrica non 

 passante pel vertice di questo cono. Anch'essa non ha, in generale, punti doppi; 



Una C|J!~Ìj anche priva di punti doppi, contenuta in una rigata R r_1 e incontrata 

 da ogni generatrice di questa in quattro punti. Essa è riferibile (in generale) 

 se r è pari, a una C r+1 piana con punto (r — 3) pl ° ; se r è dispari, a una C +2 

 piana con un punto (r — 2) pl ° e un punto triplo (contiene dunque in questo caso 

 una g\-i); 



Una CjjJ!~! con punto doppio, e contenuta pure in una rigata R r_1 di cui incontra 

 ogni generatrice in quattro punti. Essa può riferirsi (in generale) a una C r+2 

 piana con un punto (r — - 2) pl ° e un punto doppio. 



Per r < 9 si hanno poi ancora le curve seguenti : 



possono esistere per r >• 9); ma ne abbiamo però una conferma , notevole sopratutto per il modo 

 in cui vi siamo giunti, partendo cioè da un ordine di idee affatto diverso da quello in cui era lo 

 stesso sig. Del Pezzo. La stessa via, considerando le curve di genere ti — 2, ir — 3, conduce ai 

 limiti analoghi 11, 14, 



