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GINO FANO 



ratamente vicini a questo e 2r — 4 punti semplici (1). La sezione determinata da 

 una quadrica in quella superfìcie — in particolare dunque la curva considerata di 

 ordine 4r — 8 — si rappresenterà allora con una curva piana di ordine 2r — 2 — J— 2jl* 

 avente il punto P per (2r — 6 -f- 2ju) pl ° e poi ancora u punti quadrupli (À) infinita- 

 mente vicini a questo e 2r — 4 punti doppi (B). Questa curva — che chiameremo C — 

 è di genere 4r — 11, e contiene perciò come serie canonica una gZ~ìh ad ogni 

 gZ-ìi su di essa corrisponderà dunque come residua una Fissato pertanto un 



gruppo arbitrario G 2r _ 2 di quest'ultima serie, potremo segare su C la g%z\% col sistema 

 lineare delle curve di ordine 2r — 5 -f- 2|n che passano per il gruppo G 2P _ 2 e sono 

 aggiunte a C stessa, hanno cioè il punto P per (2r — 7 -f- 2|u) p, °, i u. punti A per 

 tripli, e passano ancora semplicemente per i 2r — 4 punti B (2). Da una qualunque 

 di queste curve si staccheranno però le u rette che congiungono P ai singoli punti A ■ 

 e, facendo astrazione da queste, rimarrà una curva generica T di ordine 2r — 5 — (- p. 

 avente il punto P per (2r — 7 -f- u.) pl °, i u. punti A per doppi, e passante ancora sem- 

 plicemente per i 2r — 4 punti B. E qui possono darsi due casi : 

 1° La curva generica f è irriduttibile; 



2° La curva stessa si spezza; e in tal caso, non potendo spezzarsi in curve 

 di un determinato fascio (3), essa conterrà necessariamente una parte fissa. E questa 

 parte può essere costituita soltanto: 



a) Da un certo numero di rette uscenti dal punto P; 



b) Da una curva di un certo ordine li avente in P la multipli cità h — 1 (4). 

 Esaminando separatamente questi diversi casi — cosa che non presenta d'al- 

 tronde alcuna difficoltà — si trova che ciascuno di essi conduce effettivamente a 

 determinare sulla curva C delle serie gZ-lì, ma prive tutte di punti fissi. Per non 

 dilungarci troppo, ci limitiamo ad accennare in nota il ragionamento (5). — La 



(1) Il numero \x è la differenza da r — 3 dell'ordine della direttrice minima della superficie in 

 discorso (ordine che è appuuto < r — 3). Cfr. ad es. Castelnuovo : Sulle superfìcie algebriche ecc. 

 C Rend. di Palermo „, IV). 



(2) La serie g\ r r ~Z 22 e certo completa, essendo tale la c/gr— 16 e quindi la ^gr— 19 ( v - P a S- prec.). 



(3) Perchè se no la #6r-22 risulterebbe composta mediante una serie lineare, di ordine 5 3 se 

 r>5 e ^4 se r = 5; e di serie così fatte sulla curva C non ne esistono. (Per r — 5 sarebbe anche 

 una g i diversa da quella che è segata dalle rette uscenti da P). 



(4) Non da una curva di ordine h avente in P la multiplicità h — 2, perchè se no la g%ZXi 

 dovrebbe risultare composta mediante la g\ segata dal fascio P. 



(5) Cominciamo col supporre che la curva generica T passante pel gruppo G2r-2 s i a irridut- 

 tibile. — È facile riconoscere che un sistema lineare CO d di curve di un ordine qualunque n avente 

 un punto {n — ■ 2) pl ° e u punti doppi basi non può avere ancora , se ci ^ n — \i — 1 , più di 

 3 (n — u) — {d + 1) punti basi semplici, e non più di 4 (n — n) — 2{d-\- 1) se invece d < n — /u. — 1; 

 ciò segue immediatamente dal fatto che la serie caratteristica del sistema (ossia la serie lineare segata 

 sopra una curva generica di questo stesso sistema dalle rimanenti curve di esso) è non speciale nel 

 primo caso, e speciale nel secondo (e quindi — fatta astrazione dai punti fissi — composta mediante 

 la gl). Nel nostro caso si ha n = 2r — 5 .-)- w, d = 2r — 8 ; sicché i punti basi semplici non potranno 

 essere in numero superiore a 



4 (2r — 5) — 2 (2r — 7) = ir — 6, 



e siccome tanti appunto ci sono già dati dai 2r — 4 punti B e dal gruppo G. 2r — 2> C0Sl e chiaro 

 che la #6r— 22 non potrà avere in questo caso nessun punto fisso. 



Supponiamo ora che le curve f passanti pel gruppo G 2r _ 2 contengano tutte una certa retta a 



