SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 367 



serie gtz\ 9 sulla curva C ,r_8 (supposta irriduttibile) non può avere dunque più di 

 tre punti fissi, e questo ci permette di cod eludere: 



Se nello spazio S r (r > 5 J si ha un gruppo di 2r -(- 7 o più punti indipendenti e 

 tali che le quadriche passanti per 2r -f- 3 qualunque fra essi passino sempre di conse- 

 guenza pei rimanenti, queste quadriche avranno certo a comune infiniti punti (e quindi 

 tutta una linea, passante per una parte almeno di quei primi punti). 



Ovvero anche: Se nello spazio S r (r > 5) si hanno k (> 2r -f- 4) punti indipendenti 

 e tali che le quadriche passanti per 2r-f-3 qualunque fra essi passino sempre pei rima- 

 nenti — ma non per altri punti fissi — dovrà essere altresì k < 2r -f- 6 (1). 



20. Questi stessi risultati, uniti ad osservazioni precedenti, ci danno ancora: 

 Una curva (irriduttibile) appartenente a S r e di ordine superiore a 2r -f- 4 per la 

 quale passino C7 1 ) — 2 quadriche indipendenti è sempre contenuta in una superficie 

 comune a queste stesse quadriche. Si può anche riconoscere facilmente che questa super- 

 ficie sarà di ordine < r -\- 1 (2); e sarà anzi (in generale) di ordine precisamente 



passante per P. Astraendo da questa, la curva residua variabile (che supponiamo irriduttibile) dovrà 

 essere di ordine 2r — 6 -f- M, colla multiplicità 2r — 8 -j— n nel punto P, e coi soliti u punti doppi (A) 



e 2? 4 punti semplici (B) basi. Ma il sistema di queste curve non può avere (v. sopra) più di ir — 10 



punti basi semplici, e d' altra parte i' punti B e il gruppo G2 r _ 2 ne danno già complessivamente 

 4r — 6; quattro di questi punti (e precisamente del gruppo Gz r — 2) dovranno dunque stare sulla retta a 

 (ossia il gruppo Gr 2r _ 2 dovrà contenere tutto un gruppo della g\); ma con tutto ciò la serie g^r— 22 

 non potrà avere ancora punti fissi. — Questo ragionamento suppone implicitamente che la retta a 

 non passi per nessuno dei punti A e B; ma se passasse anche per uno di questi, le considerazioni 

 stesse già esposte, con poche modificazioni, si potrebbero ancora ripetere e condurrebbero all'identica 

 conclusione. E un ragionamento analogo si potrebbe anche fare quando dalla curva generica f si 

 staccasse un numero maggiore qualsiasi di rette uscenti da P. 



Se infine la curva generica T contiene una parte fìssa di un certo ordine h e colla multiplicità 

 li — 1 nel punto P (parte che potrà essere irriduttibile, anche contenere a sua volta qualche retta 

 uscente da questo stesso punto) è chiaro che, astraendo da tutta questa parte, rimarrà un sistema 



lineare di curve Y di un certo ordine k — 2i 5 -(— ili — h e colla multiplicità k — 1 nel punto P. 



Questo sistema sarà di dimensione 2r — 8 e avrà (fuori di P) precisamente 



ÌVL±*L _ *Érj> _ 2r + 8 = 2k - 2r + 8 



punti basi semplici. Ma fra le intersezioni della sua curva generica Y k colla C ne cadono nel punto P 

 sole (k — 1) (2r — 6 4- 2^); fuori di P dovranno dunque esservene 



k(2r —2-1- 2u) — (k — 1) (2r — 6 f 2u) = 4Jc + 2r — 6 + 2u 



Ammesso perciò (ed è il caso più sfavorevole) che fra quei 2k — 2r -f- 8 punti vi siano tutti u i 

 punti A e che i rimanenti siano anche tutti punti B, è chiaro che da questi stessi punti potranno 

 essere assorbite soltanto 



4u -f 2 (2k — 2r + 8 — u) = 4& — 4r + 16 — 2u 



di quelle intersezioni, e perciò certo 6r — 22 fra esse cadranno fuori dei punti basi del sistema 

 delle Y fc e saranno quindi tutte variabili. Questo caso più sfavorevole è anzi il solo che jtossa presen- 

 tarsi (quando si voglia ottenere una gì^Z. 22); ma esso ci conduce ancora a una serie priva di 

 punti fissi. 



(1) Il valore massimo & = 2r-f-6 può essere però raggiunto; e se ne ha un esempio nel gruppo 

 generale delle intersezioni di una quadrica con una curva (normale) di ordine r -+- 3 e genere 3. 

 Così pure, nell'ultimo enunciato del n° 10, può essere anche h = 2r -{- 4. 



(2) E quindi di ordine < r + 2 la linea considerata nel penultimo enunciato del n°. preced. 



