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GINO FANO 



= r-\-l, se per la curva proposta non passa un numero di quadriche superiore a 

 quello indicato. — Avvertiamo però che in questo enunciato (e così pure in seguito) 

 si dovrà sempre ritenere r > 6 — . Possiamo anche aggiungere: 



Se un sistema lineare di quadriche di S r è di dimensione — 3 e ha infiniti punti 

 basi, questi punti non potranno costituire (colle stesse riserve del teorema analogo 

 dato al n° 11) che una curva di ordine < 2r -j- 4 o una superficie di ordine < r — j— 1. 



La prima di queste due proposizioni si applica in particolare (cfr. § 2) alle curve 

 (normali) di genere tt — k e di ordine superiore a 



j^+'a.l jr-l j + Z + l 



dove l è il resto della divisione di k per 3. 



21. Si vede subito però che dalle superficie di ordine r -4- 1 teste comparse nei 

 nostro studio possiamo escludere senz' altro tutte quelle non normali (per le quali 

 passano appunto, in generale, meno di (V) — 2 quadriche indipendenti). E, fra quelle 

 normali, si devono anche escludere le rigate ellittiche, per le quali ne passano sol- 

 tanto (V) — 3. Non rimangono perciò che le superficie (normali) a sezioni di genere 

 due, cioè: 



a) i coni normali di genere due: 



b) le superficie non rigate, che sono razionali, ma esistono soltanto per r < 11 (1). 

 Nel caso estremo r— 11 queste superficie possono rappresentare: 



il sistema delle quartiche piane con un punto doppio base; 



„ delle quintiche con un punto triplo e un punto doppio; 

 „ delle sestiche con un punto quadruplo e due punti doppi infinitamente 

 vicini a questo. 



Per r < 11 rappresentano invece i sistemi ottenuti da questi coli' aggiunta di 

 uno o più punti basi semplici. 



Quindi: Una curva appartenente a S r e di ordine superiore a 2r — |— 4 perlaquale 

 passino precisamente ("J 1 ) — 2 quadriche indipendenti — in particolare dunque una 

 curva, normale di genere tt — k e di ordine superiore al limite ricordato poc'anzi — 

 sta sempre sopra un cono normale di genere due, o (se r < 11) su di una superficie 

 razionale normale a sezioni di genere due comune a tutte quelle quadriche. 



Per il cono di genere due possiamo ripetere le stesse considerazioni già fatte 

 per il cono ellittico (n° 13), e dedurne che il caso di una curva giacente su di 

 esso si presenta solo, per così dire, come eccezione. Ne seguirà che le curve di 



genere tt — k e di ordine n > | ~ l -4- 2 j J r — 1 | — j — ^ — j — 2 dove l ha il noto signi- 



(1) Più generalmente anzi, una superficie razionale colle sezioni di genere p > 1 non può appar- 

 tenere a uno spazio superiore a S 3p+ 5 (e se appartiene a un S 3/)+ 5 le sue sezioni devono essere 

 curve iperellittiche). Questi risultati — e le loro traduzioni per i sistemi lineari di curve piane — 

 si trovano in diversi lavori del sig. Castelnuovo; cfr. ad es.: Sulle superficie algebriche le cui sezioni 

 piane sono curve iperellittiche (" Rend. di Palermo „, IV); Massima dimensione dei sistemi lineari dì 

 curve piane di dato genere (" Ann. di Mat. „, serie II, t. XVIII); e Ricerche generali sui sistemi lineari 

 di curve piane {" Mem. Acc. di Torino „, serie II, voi. XLII). 



