SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 



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ficato staranno in generale, se r > 11, sopra almeno (V) — 1 quadriche indipendenti, 

 e anzi precisamente sopra ( T ~ l ) tali, ancorché non abbiano 1' ordine superiore a 

 (* + 2) (r - 1) + 1. 



§ 8. 



Sulle curve di genere n — 2. 



22. I risultati ottenuti nel § precedente si applicano in particolare alle curve 

 di genere tt — 2, per le quali, come sappiamo, passano sempre almeno C7 1 ) — 2 

 quadriche indipendenti (e ne passano anzi certo almeno ( r ~ l ) — 1 se l'ordine è supe- 

 riore a 3r — 2, e (V) se è superiore a ir — 3; condizioni queste, s'intende, solo 

 sufficienti). — Daremo ora un cenno su queste curve di genere tt — 2 (come già si 

 è fatto per quelle di genere tt — 1); ma proponendoci di tenere, nei limiti del pos- 

 sibile, la massima brevità. 



E cominciamo colle curve di ordine inferiore a 3r — 1, quindi del tipo C^i j 

 (supposto anche qui < i < r — 1) (1). Esse contengono per i a 2 — come residua 

 della g\ r+i segata dagli iperpiani — una gl^, e di ciò avremo a valerci in seguito. 

 Fra queste curve, come si vede facilmente, possono stare sul cono normale ellittico 

 soltanto quelle di ordine 2r -j- 1 (m = 2, s = z — 1) e 2r -f- 2 (m = s=2, z = 0); 

 e sul cono normale di genere due soltanto quelle di ordine 2r-)-3(m=2, s=l, 2 — 0)(2). 



23. Facendo i = l, abbiamo curve del tipo C 2 /^ 1 , e queste sono certo non 

 speciali. Possono stare, come abbiamo veduto or ora, sul cono normale ellittico (3). 



Per i — 2 (r > 3) abbiamo delle C 2 ^j 2 , che si possono tutte ottenere come proie- 

 zioni delle curve canoniche C 2 /^ 4 di S 2 rispet'.. da loro corde. Non hanno in gene- 

 rale punti doppi, perchè se no dovrebbero contenere almeno una g\, il che, in 

 generale appunto, per r -4- 3 > 6 ossia r > 3 non si verifica. 



Per i — 3 (r > 4) abbiamo curve C 2 ^ 3 contenenti una g\. E qui ci converrà 

 distinguere vari casi: (4) 



a) Curve con due punti doppi: Stanno tutte sulla rigata R' -1 e ne incontrano 

 ogni generatrice in tre punti. Solo la C{o di S 5 può incontrare queste stesse rette 

 in quattro (anziché in tre) punti. 



(1) Anche queste curve (come quelle di genere tt — 1 considerate nel § 6) sono tutte normali. 



(2) Per il significato di queste varie lettere cfr. n° 13. 



(3) Sono di questo tipo anche le curve di ordine 2r+l che stanno sul cono razionale normale 

 di ordine r — le hanno nel suo vertice un punto triplo (v. C. Segre : Becherches générales etc, I ; 

 " Math. Ann. „, XXX). 



(4) Possiamo supporre che la g\ non abbia punti fissi, perchè se no la C 2 .^ 3 si potrebbe 

 ottenere come proiezione di una C 2 ^ 4 di Sr+l (che è di genere tt — 1 , e quindi da noi già stu- 

 diata). Questo caso si presenta anche quando la C 2r+S sta sul cono normale di genere due. 



Serie II. Tom. XLIY. v 1 



