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GINO FANO 



b) Curve con un (solo) punto doppio: Per ciascuno dei valori r = 5, 6, 7, 8, 9, 

 abbiamo una C^+ 3 contenuta in una F r razionale a sezioni ellittiche (di prima specie, 

 per r = 8); e di più, per r = 6, una Cu che sta sulla rigata R 5 e ne incontra ogni 

 generatrice in 4 punti (1). 



c) Curve prive di punti doppi: In queste curve i gruppi della g\ non sono mai 

 collineari; possono però stare in piani per r < 11 (e in questo caso vi sono preci- 

 samente 11 — r gruppi con una terna di punti collineari). La nostra curva è allora 

 contenuta in una superfìcie di ordine r -f- 1 comune a tutte le quadriche passanti 

 per essa; e la stessa superficie sarà anche luogo delle coniche determinate dai sin- 

 goli gruppi della g\ , delle quali 11 — r si spezzeranno (naturalmente) in coppie di 

 rette (2). — Infine i singoli gruppi della serie g\ possono appartenere a spazi S 3 (non 

 però a S 4 ). Applicando a questo caso un ragionamento analogo a quello già tenuto 

 in altra occasione (v. n° 16), si trova che queste curve stanno allora (in generale) 

 in una superfìcie contenente una oo 1 razionale di quartiche ellittiche, e di ordine 



12(r — 1) 



non superiore a z . 



24. Sia ora i — 4; r > 5. Avremo curve del tipo C^ 4 ; e queste contengono 

 una gi, che possiamo anche supporre priva di punti fìssi. 

 a) Questa serie g| può essere composta: 



a) Con una serie co 1 di coppie di punti di genere k < 3. Questo è possibile 

 solo per k — 3 ; e si ha così una curva di ordine 2r -j- 4 (priva di punti doppi) che 

 è l' intersezione generale di un cono normale di ordine r -f- 2 e genere 3 con una 

 quadrica (non passante pel suo vertice); 



(3) Con una serie lineare g\. I gruppi di questa possono essere collineari nei 

 tre casi di r = 6, 7, 8; e troviamo così delle curve contenute rispett. nelle rigate 

 razionali normali R 5 , R 6 , R 7 . In ogni altro caso i gruppi della g\ dovranno apparte- 

 nere ad altrettanti piani; e la curva C'^ 4 starà su di una superficie razionale nor- 

 male di ordine (in generale) 3 * 2 o 3? 3 , a sezioni iper ellittiche di genere y o 

 r —^. — ; e si potrà segare su questa stessa superfìcie con una quadrica condotta per 



Li 



' 6 o r _ sue coniche. L'ordine della superficie, il genere delle sue sezioni, e il 



numero di queste coniche possono però abbassarsi fino ai limiti rispettivi r -j- 2, 3, 0, 

 e in quest'ultimo caso la superfìcie può anche essere un cono (iper ellittico) — il che 

 rientra nel caso a) — . Per r < 11 l'ordine della superficie può anche ridursi a r -f- 1, 

 e può ridursi anche ad r per r < 9, e a quattro per r = 5; in questi casi però la 

 superficie stessa risulta comune a tutte le quadriche passanti per la curva proposta. 



(1) Quest'ultima curva — e così pure la C{1 di S s di cui all'ai, a) — contengono evidentemente 

 una g\ e quindi infinite g\ con un punto fisso; ma contengono pure rispett. due ed una g\ prive di 

 punti così fatti. 



(2) E questo va d'accordo perfettamente con un risultato già ottenuto dal Castelnuovo {Sulle 



superfìcie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche, n° 5). 



