SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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b) Se la g| non è composta (e non ha punti fissi) la C^^ 4 sarà riferibile a una 

 C 8 piana. Questo esige naturalmente r -j- 7 < 21, ossia r < 14; e si hanno così vari 

 casi semplicissimi, che saranno poi enumerati, alla fine di questo §, nella relativa 

 tabella. 



25. Per 4 < i < r — 1 , sappiamo già che la curva C^J^j deve stare su di 

 una superficie (razionale) di ordine r — 1, r, o /• — j— 1 e colle sezioni di genere 

 rispett. 0, 1, 2, comune a tutte le quadriche che la contengono. Si potrebbe però 

 ritrovare questo per altra via e fare nel tempo stesso un'enumerazione dei vari casi 

 che queste curve possono presentare, partendo dalla considerazione della serie glTZi 

 su di esse. Basterebbe perciò osservare che questa serie non può essere in alcun 

 modo composta (e ciò per ragioni analoghe a quelle già esposte al n° 17 per la 

 serie <&i); ma può essere costituita da una giiì 6 , composta con una g\, più due punti 

 fìssi, anche da una g l s ~l 5 non composta e alla quale si sia aggiunto un punto fisso. 

 Esclusi questi due casi che dànno luogo a curve proiezioni di altre già studiate, 

 l a C^+lw-i dovrà sempre essere riferibile a una C 3t_4 (semplice) di S,_ 2 . E questo per 

 i = 5 i = 6 richiede r < 11 ; per i > 6, r < i -f- 4. — Lo studio ulteriore di queste 

 curve non presenta del resto alcuna difficoltà, e perciò appunto ci limitiamo ad 

 enumerarle alla fine di questo §. 



26. Le curve di S r di genere tt — 2 e di ordine n 3r — 1 stanno, come già 

 si è detto, sopra almeno Ci" 1 ) — 1 quadriche indipendenti, e quindi su di una super- 

 ficie (normale) di ordine r r — 1 comune a tutte queste quadriche (almeno se r > 3). 

 E questo varrà in particolare per le curve di ordine =Sr — 1. Del resto, se anche 

 non lo sapessimo, basterebbe osservare che queste curve contengono tutte (come 

 residua della g\ r -\ segata dagli iperpiani) una glTl^ che non può essere in alcun modo 

 composta. Prescindendo perciò dal caso in cui questa serie abbia un punto fisso — 

 e la nostra curva sia quindi proiezione di una ClJ_ 2 di S r +i (di genere ir) — è chiaro 

 che la Cfzl dovrà sempre essere riferibile a una C 3r ~ 5 (semplice) di S r _ s . Questa 

 curva (che è pure di genere tt — 2, e corrisponde precisamente al tipo di S fc ) 

 sta sempre sulla rigata razionale normale (B/~ 3 ) del suo spazio, — anche, per r = 7, 

 sulla superficie di Veronese (1) — . Da questo e dalle note proprietà delle curve trac- 

 ciate sulle rigate razionali normali ( v. § 3) si può dedurre senza alcuna difficoltà che : 



In ogni spazio S r esiste una Gfrl che sta (per r > 3) sulla rigata R' _1 , e ne 

 incontra ogni generatrice in tre in quattro punti (0, in casi particolari, anche in 

 cinque) ; 



Nello spazio S 5 esiste anche una CU (con due punti doppi) contenuta in una 

 superficie di Veronese; 



E infine, per tutti i valori di r~ inferiori a 9, si hanno ancora delle curve 

 Ct-\ giacenti sulle superficie razionali di ordine r a sezioni ellittiche (di l a specie 

 per r — 8). 



(1) Questo, per ora, lo ammettiamo, riservandoci di dimostrarlo fra poco (v. n' 28 e 29). 



