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GINO FANO 



27. Veniamo ora alle curve del tipo Cjj£ +1 . Quelle fra esse che stanno sopra 

 ( r j l ) quadriche indipendenti saranno pur contenute (se r > 2) in una rigata R' -1 , 

 della quale potranno incontrare ogni generatrice in tre o in quattro punti (e nei casi 

 di r = 4- e r — 5 anche in cinque punti). Per altri particolari rimandiamo al quadro 

 posto alla fine del §. Sulla superficie di Veronese invece la C^ +1 (CU per r = 5) 

 non può stare. 



La stessa curva può stare però sul cono normale ellittico, incontrandone Ogni 

 generatrice in tre punti (distinti dal vertice). Una tal curva sarà sempre priva di 

 punti doppi, e si potrà ottenere (e lo si vede facilmente) come intersezione di questo 

 cono con una varietà cubica (MjLi) non tangente ad esso in alcun punto e non 

 passante pel suo vertice. 



Infine, per r < 9, le curve Cjj£ , 1 possono anche stare su di una superficie razio- 

 nale normale a sezioni ellittiche (di prima e seconda specie per r = 8), e sono allora 

 precisamente l'intersezione (generale) di questa stessa superfìcie con una varietà 

 cubica (M?_i) di S r (cfr. anche la tabella in fine del §) (1). 



(1) La serie lineare g\ r segata dagli iperpiàni sopra una C'^_i eli Sr ha per residua rispetto 

 alla serie canonica {g^r} un'altra g\ r , — che può in particolare coincidere con essa — . Si dice in tal 

 caso che questa serie è autoresidua, e l'insieme di due suoi gruppi qualunque è allora sempre un gruppo 



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della serie canonica. Questa particolarità si presenta certo per tutte le C 3r+ i che stanno sopra 

 sole C^ 1 ) — 1 quadriche indipendenti, perchè su queste curve la g^. canonica si può appunto rite- 

 nere segata dal sistema di tutte le quadriche di Sr. Invece sulle C 3 ^ +1 che stanno sopra C"^ 1 ) 

 quadriche indipendenti esistono due g Sr distinte e residue l'una dell'altra (come si vede subito ricor- 

 rendo p. e. alle rappresentazioni piane che dalle curve stesse si possono ottenere con successive 

 proiezioni); e la g&r~~ 1 segata dalle quadriche è quindi una serie non speciale (completa). — Il 

 signor Castelnuovo, nella Nota (II): Osservazioni intorno alla geometria sopra una superficie algebrica 

 C Rendiconti Ist. Lombardo „, serie II, voi. XXIV) ha determinato quali sono le curve di genere 3r 

 che contengono una g^ r _i autoresidua. Questo corrispondeva al caso limite inferiore, dovendo l'or- 

 dine n di ogni g r n autoresidua essere > 3r — 1 (e quindi il genere (=»-(-l) della curva > 3r). Noi pos- 

 siamo ora fare la determinazione analoga perii caso successivo (n — dr); e, tenuto conto altresì del 

 fatto che una g$ r autoresidua non può essere in alcun modo composta (non con una g\ lineare, se no 



la curva starebbe sulla rigata R r— ; non con una serie di coppie di punti , perchè la formola del 

 Segee condurrebbe a un risultato assurdo) e non può nemmeno avere punti fissi, concluderemo : 



Qualsiasi curva di genere 3r -f- 1 che contenga una g 3j . autoresidua è riferibile: 



Per r — 2: A una sestica piana con tre punti doppi posti in linea retta (poiché due rette qua- 

 lunque del piano devono poter far parte, insieme, di una cubica aggiunta a questa sestica, è chiaro 

 che non sono qui possibili altri casi); 



Per r > 2 : All'intersezione generale dì una superficie normale di ordine r a sezioni ellittiche con 

 una varietà cubica di dimensione r — 1. E questa superficie sappiamo pure che è certo un cono se 

 r > 9 ; e solo per r < 9 può essere non rigata e razionale. 



In particolare quindi : Ogni g 3r autoresidua in cui sia r > 9 deve contenere una g^T 1 composta 

 con una serie OO 1 ellittica di terne di punti, e perciò ogni curva contenente una tal g\ r deve potersi 

 rappresentare con una curva ellittica C di S r _ 1 tripla (da contarsi cioè tre volte). Il fatto che 

 quest'ultima curva ammette r 2 spazi S r _ 2 iperosculatori si traduce p. e. in quest'altro: Nella serie g^ 1 

 vi sono v 1 gruppi costituiti rispett. da altrettanti gruppi della g 3 ellittica contati ciascuno r volte. 



