SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



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28. Dimostreremo ora che le curve di genere ir — 2 appartenenti a S. r , quando 

 l'ordine loro n è superiore a Sr stanno sempre sulla rigata R r_1 o sulla superfìcie 

 di Veronese. 



Queste curve, per n > Sr, non possono stare infatti sul cono ellittico; già la 

 curva di ordine Sr -\- 1 (passante semplicemente pel vertice di tale cono) è di ge- 

 nere soltanto tt — 3, e le successive sarebbero di genere ancora inferiore a tt — 3. 

 Rimane dunque solo da verificare se, per r < 9, queste stesse curve possano stare 

 sulle superfìcie razionali normali di ordine r. 



E si vede facilmente di no. Infatti, indicando con m l'ordine della curva piana 

 cui verrebbe riferita la C" nella solita rappresentazione della superficie, e supposto 

 che questa y m abbia negli i = 9 — r punti fondamentali (escludiamo la F 8 di seconda 



specie) rispett. le multiplicità v u i\, , v % , sarà n = Sm — "Lv; e perciò, se vogliamo 



che il genere p della curva C n sia precisamente uguale a tt — k, dovrà essere 



w > (Sin— Ir — r) (3w— Tv— 1) , q-, 



1 ~ 2{r — l) 1 ; ' 



Ma d'altra parte abbiamo pure 



< («.-DO» -2) _ z (|) 



Quindi, a fortiori: 



(Sm — Zv — r) (3m — lv — 1) , - (m -\\ y f>\ 



27^=1^ * ■— l « 



Risolvendo ora questa disuguaglianza rispetto a m, e determinando (il che non 

 offre difficoltà) il limite superiore del secondo membro, si trova alla fine 



m 



3-f4 ^kTl. 



Ossia : Se sopra una superficie razionale normale a sezioni ellittiche ( esclusa la F s 

 di 2 a specie) si ha una curva di genere tt — k , l'ordine m della sua rappresentante 

 piana nella solita rappresentazione della superficie non può superare il limite 3 -f- 4 j/k+1. 



In particolare, le curve di genere tt — 2 devono avere rappresentanti piane di or- 

 dine non superiore a 9 (2). 



Ciò posto, ne segue senz'altro la verità del nostro asserto, perchè già le curve 

 ^srtì ( ac ^ es - ^ a di S 8 ) — e a fortiori le successive — dovrebbero avere le rap- 

 presentanti piane di ordine > 10. 



(1) La frazione che compare al secondo membro è infatti il valor minimo che può avere il 

 genere tt corrispondente all'ordine n = 3m — lv (e questo valore lo si ha appunto quando "Zi 

 è intero e quindi — x)- 



(2) Per le curve di genere ir — 1 si avrebbe m < 8; e questo è confermato dai risultati otte- 

 nuti nel § 6. 



