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GINO FANO 



Un ragionamento affatto analogo si potrebbe applicare alla F 8 di 2 a specie; ma 

 per brevità lo omettiamo. 



29. Possiamo però anche giungere allo stesso risultato per altra via, mediante 

 considerazioni sopra serie lineari. Supponiamo infatti che per una curva C|f^ +1 

 (e sono di questo tipo appunto — per < i < r — 2 — quelle che ora dobbiamo 

 considerare) (1) passino soltanto Cà 1 ) — 1 quadriche indipendenti. Il sistema di tutte 

 le quadriche di S r segherà allora sopra questa curva una gf M _ 2i ; e siccome la serie 

 canonica è in questo caso una $f(r+S > ® chiaro che la stessa curva dovrà anche con- 

 tenere, come residua di quella prima serie, una g\,. Faremo vedere che una tal serie 

 essa non può contenerla, a meno di non stare sulla rigata R r-L , — il che sarebbe 

 contrario alle nostre ipotesi — . 



La curva proposta non potrà infatti riferirsi a una G il di Si, perchè quest'ultima 

 avrebbe per genere massimo 21 se i — 2, 25 se i = 3, e 6 (i -f- 1) se i > 4; do- 

 vrebbero dunque verificarsi in questi casi rispett. le relazioni 



le quali sono invece tutte incompatibili coll'ipotesi fatta i < r — 2 ossia r > i -j- 2. 



La g x ki non può nemmeno essere composta mediante una serie co 1 di coppie di 

 punti (di genere < 1), ne mediante una serie di terne di punti (se i è multiplo 

 di tre), ne infine con una g\ (lineare) i cui gruppi appartengano ad altrettanti piani, 

 perchè sempre l'applicazione della formola del sig. Segre condurrebbe ad un risul- 

 tato assurdo (si troverebbe cioè che la nostra curva, che abbiamo supposta appar- 

 tenere ad S T , dovrebbe stare sopra una rigata di ordine < r — 1, o su di una M 3 

 di ordine < r — 2). Ne la g\ può avere qualche punto fisso, perchè, se ne avesse 

 ad es. un certo numero k, astraendo da questi, rimarrebbe una che dovrebbe 



essere rappresentabile mediante una G H ~ h di S i; oppure composta mediante una 

 serie co 1 di coppie o terne di punti ; ipotesi tutte che conducono agli stessi risultati 

 assurdi di prima. 



Rimane dunque la sola ipotesi che la g\ { sia composta mediante una g\ coi gruppi 

 collineari. Ma allora le rette contenenti questi singoli gruppi dovrebbero formare una 

 rigata razionale normale (di ordine r — 1), e perciò la curva dovrebbe stare sopra ('i 1 ) 

 quadriche indipendenti, mentre abbiamo supposto che stesse sopra sole Ci 1 ) — 1. 

 E dunque in ogni caso assurda quest'ultima ipotesi; e possiamo perciò asserire che: 



Ogni curva appartenente a S, (r > 2) la quale sia di genere tt — 2 e di ordine n > 3r 

 sta su di una superficie razionale normale di ordine r — 1 (comune a tutte le qua- 

 driche che la contengono). 



Sr + 7 < 21 ossia 

 Sr -f- 10 < 25 

 Sr -f 3» + 1 < 6i + 6 „ 



r < 4 , se i = 2 ; 

 r < 5 , se i — 3 ; 

 r < * -f- 1, se % > 4 ; 



(1) Se fosse i> r — 2, l'ordine della nostra curva risulterebbe S 4r — 2, e in questo caso sap- 

 piamo già che la proposizione che qui vogliamo dimostrare è vera. 



