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GINO FANO 



b) Curve di ordine 3r — le genere 3r — 2 : 



Queste curve, per ogni valore di r, possono stare sulla rigata R r_1 , incontran- 

 done ogni generatrice in quattro punti. Hanno in tal caso due punti doppi, e sono 

 riferibili a una C r+3 piana con un punto (r — l) pl ° e due punti doppi. Della rigata 

 R r_1 esse possono però incontrare ogni generatrice anche in soli tre punti; hanno 

 allora un punto doppio, e sono proiezioni di una C 3 ' di S r+ i — intersezione della 

 rigata R r di questo stesso spazio con una varietà cubica (M 3 .). 



Abbiamo poi ancora: 



1. Una G\l di S 4 contenuta in una rigata R 3 e incontrata dalle generatrici di questa 



in 5 punti. Non ha punti doppi ed è riferibile a una sestica piana generale ; 



2. Una CI3 di S 5 con due punti doppi e contenuta in una F 4 di Veronese. E riferibile 



a una C 7 piana con due punti doppi; 



3. Infine, per r < 8, una Gf r z\ contenuta in una F r a sezioni ellittiche (di prima 



specie per r — 8) e riferibile a una C 9 piana con punto quadruplo e 8 — r 

 punti tripli (1). 



c) Curve di ordine 3r e genere 3r -f- 1 : 



Queste curve, per ogni valore di r, possono essere contenute: 



1. In una rigata R r_1 , della quale incontrino ogni generatrice in quattro punti. Hanno 



allora due punti doppi e sono riferibili a una C r+4 piana con un punto r pl ° e 

 due punti doppi (2). Della stessa rigata R r_1 esse possono anche incontrare le 

 varie generatrici in soli tre punti; non hanno allora punti doppi, e si possono 

 ottenere (per r > 6) come intersezioni di questa rigata con una varietà di quarto 

 ordine (M 4 _x) passante per una sua direttrice di ordine r — 4 ; 



2. In un cono (normale) ellittico di ordine r ; e sono allora l'intersezione di questo 



cono con una M 3 _! non passante pel suo vertice. 



Per r < 9 le stesse curve possono anche essere intersezioni di una F r a sezioni ellit- 

 tiche con una M 3 _ t . Questa proprietà ne dà anche immediatamente le rappresen- 

 tazioni piane (per questo caso). 



E infine per r — 4 e r = 5 le curve C|| e Cìi contenute rispett. in una rigata R 3 R 4 pos- 

 sono anche incontrare ogni generatrice di questa stessa rigata in 5 punti. La 

 di S 4 ha allora un (solo) punto doppio, e la CJ1 di S 5 non ne ha alcuno (3) (4). 



(1) Nel caso di r = l questa rappresentazione non è però sempre possibile; quando non lo sia, 

 la curva Cjg si potrà invece riferire a una C 8 piana con due punti doppi. E anche per r < 7 

 potrebbe la C^Zìl riferirsi a una C 8 piana con 7 — r punti tripli e due punti doppi; ma questa 

 rappresentazione non differirebbe allora sostanzialmente dalla precedente. 



(2) Per r=3 si avrebbe una Cj contenuta in una quadrica, e che dalle generatrici di uno 

 dei due sistemi di questa sarebbe incontrata effettivamente in quattro punti. Da quelle dell' altre 

 sistema essa sarebbe però incontrata in cinque punti. 



(3) Questa Cjg di S B è riferibile alla curva di 10° ordine intersezione generale di una quadrica 

 del nostro spazio con una superficie di quinto ordine (e anzi da una generatrice qualunque della 

 rigata R 4 che la contiene essa si proietta precisamente in una curva così fatta). 



(4) I risultati ottenuti in questo § risolvono completamente, nel loro insieme, la questione 



