SOPRA LE CORVÈ DI DATO ORDINE, ECC. 



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Applicazione dei risultati precedenti 

 alle rigate e congruenze di rette. 



31. I risultati ottenuti in questo lavoro si riferiscono, in gran parte almeno, a 

 curve e a superfìcie per le quali passa un sistema lineare di quadriche (in generale 

 non tutte degeneri) di nota dimensione ; lé proprietà da noi stabilite potranno dunque 

 tradursi facilmente in risultati di Geometria della retta (1). Rappresentandoci infatti 

 — nel caso di r = 5 — una qualsiasi Q (purché non degenere) fra quelle quadriche 

 coll'insieme delle rette dello spazio S 3 , è chiaro che ogni altra quadrica del sistema 

 considerato determinerà nella prima una sezione rappresentata a sua volta da un 

 complesso quadratico; e alla nostra curva o superficie corrisponderà (nella quadrica 

 delle rette) una rigata o una congruenza di rette comune a tutti questi complessi (2). 



della determinazione di tutte le curve di genere Tt — 2 (e di ordine >• 2r) dei vari spazi (almeno 

 per r — 3); — e l'analoga determinazione per le curve di genere n — 1 era a sua volta contenuta 

 nei risultati che abbiamo esposti nel § 6. — Si potrebbe ora domandare di estendere queste ricerche 

 alle curve di genere tt — 3, o (più generalmente) di genere ir — k (almeno per k non superiore a 

 un qualche limite). Premesso che non è mia intenzione di occuparmi per ora di questo argomento, 

 voglio però aggiungere che l'unica difficoltà forse che così facendo si incontrerebbe sarebbe quella 

 di dare per i sistemi lineari di quadriche di dimensione 5= ('T*) — ^ ^ n ^i) un teorema analogo a 

 quelli che ai n* 11 e 20 si sono dati rispett. per i sistemi di dimensione C^ 1 ) — 2 e C2" 1 ) — ^. 

 Questo teorema dovrebbe scaturire probabilmente da quello (più generale) del § 4 ; ma dalle consi- 

 derazioni di cui abbiamo dovuto valerci in sul principio dei §§ 5 e 7 non appare ancora (è un fatto) 

 nessun concetto che si possa generalizzare e applicare ai casi successivi. Molte ragioni mi indur- 

 rebbero a credere che quel massimo valore di n a cui ho accennato nel § 4 (n° 8) sia eguale precisa- 

 mente a 2 (r — 1 -(- i) — almeno per i <r — 3 — , e questo è ormai assodato per i casi di i = 1,, 2, 3; 

 per i casi successivi, è una questione che merita di essere studiata. 



Quello stesso teorema non sarebbe però applicabile alle curve di genere tt — k che quando l'or- 

 dine loro fosse > 2(r + k). Per le curve di ordine <2{r-\-k) si potrebbero fare delle ricerche ana- 

 loghe a quelle accennate nei casi di k = l (n* 15 e 16) e k = 2 (n* 23-25), partendo cioè dalla con- 

 siderazione di qualche serie lineare sopra le curve stesse. È notevole forse in particolar modo la 



curva C^fj^Jj (che è appunto di genere tt — k per 2k<r — l, ossia T J ). Essa contiene 

 una glfo che può essere composta con una serie OO 1 di coppie di punti di genere k-\-l, o con 

 una g\ lineare (o anche con una serie OO 1 di terne di punti, di genere < -|- , se k è multiplo di 3), 

 e può anche non essere in alcun modo composta, se r < Bk -j- 5 (k > 2). In ciascuno di questi casi 

 si può determinare facilmente in che superficie la curva deve essere contenuta. 



(1) Cfr. ad es. la Mem. del sig. Klein già cit. nella prefazione. Alcuni fra i concetti conte- 

 nuti in questa Memoria furono già applicati da me in un lavoro precedente (" Ann. di Mat. „, 

 ser. II, t. XXI) allo Studio di alcuni sistemi di rette considerati come superficie dello spazio a cinque 

 dimensioni. 



(2) La rigata avrà anzi lo stesso ordine e lo stesso genere della curva che rappresenta. Quanto 

 poi alla congruenza, il suo ordine m e la sua classe n saranno dati rispett. dal numero dei punti in 

 cui la superficie corrispondente è incontrata dai piani dei due sistemi della quadrica Q (sarà quindi 

 m-\-n l'ordine della stessa superficie); e il suo rango sarà dato dalla differenza (m — 1) (n — 1) — {p -\- d), 

 dove p è il genere delle sezioni di quella superficie e d l'ordine della sua linea doppia (se una tal 

 linea esiste ; se no, si dovrà ritenere d = 0). 



