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GINO FANO 



Noi potremo quindi ricavare dai teoremi già ottenuti proprietà delle rigate e delle 

 congruenze di rette per cui passa un dato numero (un sistema lineare cioè di data 

 dimensione) di complessi quadratici; e precisamente le proprietà relative ad enti 

 contenuti (per r = 5) in co h quadriche si applicheranno alle rigate e congruenze con- 

 tenute a lor volta in oo* -1 complessi quadratici. 



Cogliamo l'occasione per dare 1' analoga interpretazione anche dei risultati già 

 ottenuti dal sig. Castelnuovo e qui ricordati al n° 1. 



32. Il genere massimo di una rigata algebrica di ordine n e non contenuta in un 

 complesso lineare (1) è dato dal prodotto x j n — 2x — 3 } dove x è il minimo intero 



non inferiore a n ~ (2). 



Per una rigata algebrica di genere massimo (di genere cioè precisamente — 

 X ) n — 2x — 3 } ) passano sempre almeno oo 4 complessi quadratici di rette, e ne passano 

 precisamente tanti (e non di più) quando l'ordine di questa rigata non è inferiore a 10. 



Ogni rigata algebrica di ordine superiore a 10 e per cui passino oo 4 complessi 

 quadratici (in particolare quindi ogni rigata di genere massimo e di ordine sempre > 10) 

 è contenuta in una congruenza di rette comune a tutti questi complessi (3). Una tale 

 congruenza può presentare due casi distinti: 



a) Congruenza (2, 2) costituita da una serie oo 1 di fasci di raggi coi centri 

 su di una conica e i piani tutti tangenti a un medesimo cono quadrico (4). Questa 



(1) È in questa restrizione appunto che si traduce quella che imporrebbe alla curva C™ di ap- 

 partenere allo spazio Se; essa è perciò indispensabile. Se la rigata stessa in un (solo) complesso 



lineare, il suo genere massimo sarebbe -^-(2n — 3x' — 5); e se stesse in infiniti (OO 1 ) complessi e 



quindi in una congruenza lineare, x" (n — x" — 2) ; — essendo x' e x" i minimi interi non inferiori 



, . n — 4 n — 3 

 nspett. a — g — e — ^ . 



(2) Da questo risultato e da quelli contenuti nella nota precedente segue ancora che, nello 

 spazio ordinario, una rigata di ordine ?» e di genere superiore a ^" 8 3 ^ sta sempre in un com- 

 plesso lineare, e anzi in una congruenza lineare se il suo genere è superiore anche a ^ w ^g" — — . 



Infine, una rigata di ordine n e di genere > ^" ^ ^ è necessariamente un cono (o un inviluppo piano). 



Di quest'ultima proposizione è fatto cenno anche in una Nota del sig. Kuppee (" Math. Ann. „, XXXI); 

 ma le considerazioni che hanno condotto Ì'A. a questo risultato sono affatto estranee alla geometria 

 della retta ; tant'è vero che per dedurre questo stesso risultato dalla proprietà corrispondente delle 

 curve di ordine n egli ha ricorso ancora a un ragionamento semplice sì, ma affatto inutile, visto 

 che non si trattava d'altro che di applicare a un caso (e precisamente a uno spazio) particolare un 

 risultato generale già ottenuto. 



(3) Per la rigata di genere massimo e di ordine = 10 (quindi di genere 6) il teorema non 

 sarebbe più vero. Questa rigata può invece ottenersi in generale come intersezione di un complesso 

 quadratico e di una congruenza (2, 3) o (3, 2) di genere uno (cfr. il mio lavoro cit., n° 6). Infatti la 

 curva canonica generale di genere 6 (C\° di S B ) — che è riferibile a una sestica piana con quattro 

 punti doppi — è contenuta in una superficie F B razionale a sezioni ellittiche, ed è precisamente 

 intersezione di questa superficie con una quadrica non passante per essa. 



(4) Quella conica non deve però passare pel vertice di questo cono — . L'insieme di tutte le tan- 

 genti a questo stesso cono che si appoggiano a quella curva si spezza precisamente in due con- 

 gruenze (2, 2) così fatte; cfr. ad es. Kummer: Ueber die alg. Strdhlensysteme ecc. (" Abhand. der Beri. 

 Ak. ,,1866) e Stubm: Die Gébilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie ecc.; voi. DI (Leipzig, 1892). 



