SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 



381 



congruenza corrisponde alla rigata razionale normale del quarto ordine di S 5 , del 

 primo o del secondo gruppo (con una direttrice rettilinea cioè, oppure con una sem- 

 plice infinità di coniche direttrici) secondo che il vertice di quel cono cade nel piano 

 stesso della conica, oppure è esterno ad esso. In quest' ultimo caso la congruenza 

 contiene una serie razionale oo 1 (di indici { 2, 2 J ) di rigate quadriche , passanti 

 tutte per quella conica e tutte tangenti ai singoli piani di quell'inviluppo (ossia di 

 quel cono) quadrico. L'una e l'altra di queste congruenze corrisponde per dualità a 

 sè stessa ; 



b) Congruenza (1, 3) delle corde di una cubica sghemba, — oppure il sistema 

 reciproco di questo, una congruenza cioè (3, 1) le cui rette siano le intersezioni a 

 due a due dei piani osculatori a una tal cubica (siano quindi, in altri termini, le 

 congiungenti delle coppie di punti omologhi di due piani collineari in posizione 

 generale) — . Questi due sistemi (reciproci) sono ben distinti fra loro, ma corrispon- 

 dono entrambi alla superfìcie di Veronese (1). L'uno e l'altro di essi contiene una 

 serie co 2 di rigate quadriche (corrispondenti alle oo* coniche della F| di Veronese); 

 e il sistema di queste quadriche (considerate rispett. nei due casi come luoghi e 

 come inviluppi) è anzi lineare (2) (3). 



(1) Cfr. C. Segee, Considerazioni intorno alla geometria delle coniche di un piano ecc. (" Atti della 

 R. Acc. di Torino „, XX). 



(2) Le rigate contenute in una congruenza di questo secondo tipo conterranno dunque a lor 

 volta una cubica sghemba, incontrata da ogni loro generatrice in due punti, oppure saranno tali 

 che per ciascuna di queste generatrici si possano condurre due piani osculatori a una determinata 

 cubica. Possiamo anche dire che una qualsiasi di queste due proprietà dovrà sempre verificarsi per 

 la rigata proposta o per una qualunque sua trasformata reciproca. Questo caso non può presentarsi 

 però che per rigate di ordine pari; la metà di quest' ordine darebbe precisamente la multiplicità 

 (per la rigata) della cubica dianzi considerata. 



Invece le rigate contenute in congruenze del tipo a) avranno tutte indistintamente una conica 



direttrice; e anzi, se la rigata è di genere massimo, il numero X (che sappiamo essere 2f . 5 , ma 



< — j — ) aumentato di un'unità ci darà, in generale, la multiplicità di questa stessa direttrice. 



Se però l'ordine della rigata fosse del tipo ém -f- 1 (m essendo intero) la stessa multiplicità potrebbe 

 anche essere uguale a m -\- 1 (ossia a X + 2). 



(3) Per una rigata contenuta in un complesso lineare si può dire che , se è di ordine »>8 e 



,. / . ,. (n — i)(n— 1) (»-3)(n — 2) \ , , , > 

 di genere massimo f quindi = - g o 5 ^ ), dovrà stare in una congruenza (1, 2) o 



(2, 1) — costituita nel primo caso dalle rette che si appoggiano a una retta data e a una conica 

 pure data e avente con quella retta un punto comune, nel secondo caso dalle tangenti a un cono 

 quadrico che si appoggiano a una data tangente di questo stesso cono (quel complesso lineare 

 sarà quindi in ogni caso speciale, e le rigate in discorso avranno sempre una direttrice rettilinea 

 dotata di una certa multiplicità) — . Infine una rigata contenuta in una congruenza lineare e di 



, . ,. ,. ,. ,. (n — 2)3 (n— l)(n — 3) , , . • 



genere massimo (quindi, se di ordine n, di genere 4 o 1 , secondo che n e pari o 



dispari) avrà due direttrici rettilinee (in generale distinte) e multiple entrambe secondo y se » è 

 pari, secondo n ~ 1 l'una e secondo 1 l'altra se n e dispari. Questa proprietà si trova già nella 

 Nota cit. del sig. Kupper; ad essa possiamo aggiungere che quelle stesse rigate si potranno sempre 

 ottenere come intersezioni della congruenza lineare che le contiene con un complesso di grado -y- 



o 2 1 (e in quest'ultimo caso vi sarà, naturalmente, un fascio di rette come intersezione re- 

 sidua). 



