382 



GINO FANO 



33. Una rigata algebrica per la quale passino non più di co 4- i (1) complessi 

 quadratici non può essere di genere superiore a 



X^|«-2x«r-3 j - jx<r-l (& 



dove è il minimo intero non inferiore - — | — — . 



Da questo si deduce che per una rigata di genere uguale al massimo corrispon- 

 dente al suo ordine (ir) diminuito di k unità (dunque di genere ir — k) passano 

 sempre (almeno) oo 4 complessi quadratici quando il suo ordine n è superiore o eguale 

 a ik -f- 10 ; almeno co 3 se n > 2k -\- 10 o n > 2k -f- 9 secondo che k è pari o dispari; 



almeno oo 2 quando n > 4 — ~ [— ? — f— 10 dove l è il resto della divisione di k per 3; 



almeno oo 1 quando n > A; — |— 10. 



In particolare , per una rigata di ordine n e genere ir — 1 passano sempre 

 almeno co 3 complessi quadratici; e ne passano certo oo 4 per n> 14. Quando ne pas- 

 sino soltanto co 3 , essi potranno avere a comune la sola rigata R" finché n < 12; per 

 n = 13 avranno a comune tutta una congruenza (2, 3) o (3, 2) di genere uno, con- 

 tenente la rigata in discorso (qui R ( n,) — che non avrà in questo caso generatrici 

 doppie — . Però la rigata R ( J?, può anche stare in co 4 complessi quadratici; allora 

 ha sempre una generatrice doppia, e una conica direttrice tripla o quadrupla. 



Anche la rigata R^ può esser contenuta in co 4 complessi quadratici, e avere 

 una conica direttrice tripla o quadrupla; in quest'ultimo caso però non avrà gene- 

 ratrici doppie. Esiste anche una rigata RfJ, con una cubica sestupla incontrata da ogni 

 sua generatrice in due punti, e con una generatrice doppia. — Se questa stessa 

 rigata è contenuta in soli co 3 complessi quadratici, potrà ancora stare in una con- 

 gruenza (2, 3) o (3, 2) — sempre di genere uno — comune a questi complessi; se no, 

 sarà intersezione di un complesso quadratico con una congruenza (3, 3) di genere due 

 (congruenza di Roccella) (2). — Non avremo invece una rigata R ( V) corrispondente 

 alla curva C, 1 di S 5 che sta sul cono normale ellittico (di quinto ordine) perchè le 

 quadriche passanti per questa curva sono tutte degeneri. 



34. Similmente, per una rigata di genere tt — 2 passano sempre almeno co 2 

 complessi quadratici; e anzi almeno co 3 se l'ordine di essa è superiore a 13, e 

 certo oo 4 se è superiore a 15. La rigata di 15° ordine (e genere 16) contenuta in 

 soli oo 3 complessi quadratici è intersezione generale di una congruenza (2, 3) o (3, 2) 

 di genere uno con un complesso cubico. — Gli altri casi che queste rigate possono 

 presentare si deducono anche facilmente dal quadro che abbiamo dato alla fine 

 del § 8, sicché crediamo inutile insistervi sopra più a lungo. 



(1) Questa proposizione vale per 0<ò<4; e anche, se vogliamo, per ò = 5, intendendo però 

 allora che per la rigata non passi più nessun complesso quadratico. L' ipotesi che qui vien fatta 

 esclude implicitamente che la congruenza possa stare in un complesso lineare. 



(2) V. Roccella: Sugli enti geometrici dello spazio di rette ecc. (Piazza Armerina, 1882). Cfr. anche 

 il mio lavoro cit., n° 9. 



