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GALILEO FERRARIS 



Per dimostrare la prima di queste uguaglianze, del resto notissime, basta osser- 

 vare che se si dice V l'angolo tra A ed uno dei vettori b, si ha: 



bl.a cos qp = è A cos ip, 



quindi Tab cos <p = lòA cos ip = AZè cos ip. 



Ma T.b cos ip == B cos O, dunque 



laè cos qp = AB cos <t>. 



La seconda eguaglianza, ossia la Tab sen qp = AB sen <t>, si dimostra in modo 

 analogo. 



12. — In secondo luogo conviene vedere quali sieno i valori medii dei prodotti 

 a b cos cp ed a b sen qp quando i vettori a b sono delle specie di cui noi qui ci occu- 

 piamo, quando cioè essi sono vettori rotanti o vettori alternativi. E qui si hanno 

 più casi. 



1° Caso. — Se i due vettori a e b sono vettori rotanti nel medesimo piano, colla 

 medesima frequenza e nel medesimo verso, l'angolo qp compreso fra i medesimi ri- 

 mane costante : esso è uguale al valore angolare della differenza di fase de' due vet- 

 tori. Siccome, per la definizione di vettore rotante da noi adottata, anche a e b sono 

 costanti, così i prodotti a b cos (p, ab sen cp sono indipendenti dal tempo. 



2° Caso. — Se a e è sono ancora vettori rotanti in un medesimo piano, ma con 

 frequenze diverse n ed m, l'angolo cp compreso fra di essi passa in ogni unità di 



tempo n — m volte da a 2tt, ossia varia tra e 2 ir nel tempo — - — . Il valore medio 



n — m 



di cosqp e di sen qp durante tale tempo è uguale a zero, ed è perciò uguale a zero 

 anche il valore medio dei prodotti considerati. 



3° Caso. — Un caso particolare compreso in quello or ora considerato è quello 

 di due vettori rotanti in versi opposti: se sono n ed m le frequenze dei due vettori 



rotanti, l'angolo qp varia tra e 2n nel tempo ^_ m , e- durante questo tempo i 



valori medii di a b cosqp, e di aèsenqp sono uguali a zero. 



4° Caso. — Un altro caso particolare è quello in cui a è un vettore rotante e 

 b un vettore fisso di grandezza costante. Questo caso si riduce ai precedenti facendo 

 semplicemente m = 0. Anche in questo caso i medii prodotti sono uguali a zero. 



5° Caso. — Se a è un vettore alternativo di direzione fissa e b è un vettore 

 rotatorio, possiamo immaginare a scomposto in due vettori uguali rotanti in versi 

 opposti, d ed s r e valendoci del teorema ricordato all'articolo precedente (11), porre: 



ab cos qp = d. b cos ò -j- s. b cos a, 

 ab sen qp = d. b sen ò -J- s. b sen 0, 



ove òecr rappresentano gli angoli che nell'istante considerato b fa con d e con s. 

 Così siamo ricondotti ai casi precedenti. 



Se a e è hanno frequenze diverse, tanto i prodotti d b cos b, db sen b quanto i 

 prodotti s b cos a, s b sen a hanno valori medii uguali a zero ; quindi sono uguali a 

 zero anche i medii di ab cosqp, e di ab sen qp. 



