UN METODO PER LA. TRATTAZIONE DEI VETTORI ROTANTI OD ALTERNATIVI 393 



Se a e b hanno una medesima frequenza, solamente i prodotti d b cos b, db sen b, 

 oppure solamente s b cos o, s b sen a sono nulli ; gli altri due sono diversi da zero 

 e sono costanti. Se, per esempio, è è un vettore rotante verso destra i prodotti s b cos o", 

 s b sen hanno un valore medio uguale a zero, ed i prodotti d b cos ò, db sen b sono 

 costanti. Si ha perciò semplicemente: 



medio di a b cos cp = db cos b, 

 medio di a è sen cp = db sen b. 



Se si rappresenta con A l'ampiezza del vettore alternativo , si ha d == ^, e 



a 



quindi 



medio di ab cos <p = -— - Ab cos b, 



medio di a b sen cp = — Ab sen b. 



Se si prende come origine del tempo l'istante in cui a ha il valore massimo A, 

 l'angolo b, che figura in queste espressioni, è il valore angolare della differenza di 

 fase tra a e b. 



6° Caso. — Se finalmente a e b sono due vettori alternativi di uguale frequenza, 

 noi consideriamo il primo come risultante di due vettori rotanti d ed s ed il secondo 

 come risultante di due altri vettori rotanti d' ed s'. In grazia della proposizione dimo- 

 strata all'art. 11, i prodotti a b cos cp, a è sen cp sono in ogni istante uguali alla 

 somma di quelli che si hanno colle combinazioni d d' , d s' , s d' , ss' . Ma, in grazia di 

 ciò che si è detto dianzi trattando il caso 3°, i valori medii dei prodotti corrispon- 

 denti alla seconda ed alla terza combinazione sono uguali a zero; dunque, se di- 

 ciamo b l'angolo costante tra d e d' e ff l'angolo costante tra s ed s', abbiamo: 



medio di a è cos cp = dd' cos b -f- ss' cos a, 

 medio di ab sen.cp r= dd' sen b -)- ss' sen o\ 



Se diciamo A e B le ampiezze dei due vettori alternativi dati, e se notiamo che 



ci S g j G 6^ — S — g ? 



possiamo scrivere anche : 



medio ab cos cp = ~ (cos b -(- cos a), 

 AB 



e medio ab sen cp = — (sen b -f- sen a). 



Se poi, dicendo a e p le fasi di a e b, notiamo che 



b — cp-f-p — a, e a = cp — P + a, 

 possiamo scrivere ancora : 



medio ab cos cp — ^ cos cp. cos ((3 — a), 



a 



medio ab sen cp - - ^ sen cp. cos (P — a). 



Serie IL Tom. XLIV. 



