1878.] une Equation Differ entielle du 3me Ordre. 127 

 et Ton obtient apres quelques reductions l'equation suivante : 

 M*=g^ |16.0^-W + 30' 2 ] (4) 



dans laqnelle : 



(/)=4x i — g 2 x—g 3 =4<(x — e 1 )(x — e 2 )(x — e d ) 



4 



(a?— ex) + 7i(e 3 — ei)J 



Cette equation differentielle (4), qui est de la forme de celle considered 

 il j a longtemps par Mr. Kummer dans ses recherches sur les series 

 hypergeometriques de Gauss, peut s'integrer au nioyen des resultats 

 obtenus dans la note rappellee ci-dessus. En eifet en posant y x y % —v^ 

 on deduit tres-facilement de l'equation (2) que : 



du v 



ou aussi : 



ld v __ C 



Mais pour le cas de n pair = 2m, on a : 



etant un polynome en x du degre m, dont les coefficients sont des 

 fonctions determinees de h, e x , e 2 , e 3 . On aura done dans ce cas : 



CZ(a>) 



rj = e 



ayant pose : 



dx 



Z(x)=l 



h 



r(»)/0(a») 

 Dans le cas que n impair = 2m+l, on a : 



etant encore un polynome en a; du degre m, et £ une racine de 

 l'equation 0(a;)=O, e'est-a-dire ^=e Xj e 2 , e 3 . Dans ce cas en posant 

 <p(x) = (x — %)/ll(x), on aura: 



„, ^ f tZfe 

 Z(aj)= 7= 



integrable par des fonctions logarithmiques. En posant : 

 t x {a) = V fi{x) — v 7 fi{a) —2(x—a) 



