1882.] Sur les Surfaces Homofocales du Second Ordre. 323 



■c a', c b', &c. D'apres ce que nous venous de rappeler, toutes ces droites 

 sont dans le meme plan, a c b. 



Par le point c (fig. 1), elevons la droite G perpendiculairement au 

 plan a c b. Les droites c a, c b, G forment un triedre, que nous allons 

 entrainer en meme temps que Tangle a c b et qui reste de grandeur 

 invariable pendant le deplacement de cet angle. La droite G, ainsi 

 entrainee, reste tangente en son point c k la ligne de courbure E 

 decrite par ce point. 



La caracteristique du plan de la face (c a, G) est la droite c a, car 

 cette droite passe par les points ou cette face touche E et l'ellipsoide 

 (0). Le lieu des positions du cote c a est alors la surface developpable 

 ■enveloppe du plan (c a, G) . Nous appellerons (a) la courbe, lieu des 

 points de contact, tels que a, de cette surface developpable et de (0). 



Prenons cette courbe (a) comme directrice d'une normalie a 

 l'ellipsoide donne. Pendant le deplacement du triedre le plan a c b 

 contient successivement une generatrice de cette normalie. Sa 

 caracteristique passe alors par le point «, oil il touche cette normalie. 

 Mais la tangente en a a (a) et la tangente a c sont deux tangentes 

 conjuguees relativement a (O) ; le plan a c b est alors un plan central 

 de la normalie et le point cc est le point central pour la generatrice 

 a a de cette surface. 



Le point a. est aussi le centre de courbure de la courbe de contour 

 apparent de l'ellipsoide (0) projete du point c sur un plan mene en a 

 perpendiculairement a c a* De meme, en considerant des ellipsoides 

 homofocaux a l'ellipsoide (0) on aura pour les points d, a" .... des 

 centres de courbure tels que x. Tous ces points sont 



aussi sur la caracteristique du plan a c b, c'est-a-dire qu'ils appartien- 

 nent a une meme droite. 



Ce que nous venous de dire est applicable aux centres de courbure 

 correspondant aux points b\ tels que b, Nous avons alors ce 



theoreme : 



Les centres de courbure des courbes de contour apparent d'une suite d 'el- 

 lipsoides homofocaux, projetes coniquement d\m meme point c sur des 

 plans is sus des points a, a' .... b, b' ... . et perpendiculaires respec- 

 tivement aux tangentes c a, c a' . . . . c b, c b' . . . . qui sont dans 

 un meme plan doublement normal d ces ellipsoides, appartiennent a une 

 meme droite. 



Nous appellerons 1 cette droite (fig. 1). Puisque la droite 1 est 

 la caracteristique du plan mobile a c b, et que ce plan reste constam- 

 ment normal a la courbe E, nous voyons que : 



La droite 1 est Vaxe de courbure de la courbe E. 



Et alors : — 



Le point 7 l5 ou elle rencontre la normale en c a Vellipsoide (E) est Vuiv 

 des centres de courbure principaux de cette surface. 



* Voir mon " Cours de Greometrie Descriptive," p. 300 et suiTantes. 



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