1882.] Sur les Surfaces Homofocales da Second Ordre. 325 



second ordre homofocales * est arrive an theoreme suivant, qu'il enonce 

 ainsi : 



Mtant donnees deux surfaces homofocales A et A! ; si on leur circonserit 

 deux cones ayant le meme sommet : la courbe de contact de la surface A 

 sera lafocale cVune surface inscrite dans A! suivant la courbe de contact de 

 celle-ci. 



Appeloiis (S) la surface ainsi inscrite dans A' et nienons par le 

 sommet dn cone nn plan secant. La section faite dans (S) par ce 

 plan est doublement tangente a la section faite dans A' par ce meme 

 plan. Ceci est vrai, quel que soit le plan secant ; il en resulte, lorsque 

 le sommet du cone vient sur A', que : 



Si Von a une surface du second ordre A et un cone qui lui soit circon- 

 serit, la surface du second ordre (S), qui a pour focale la courbe de con- 

 tact de A et de ce cone, et qui est tangente an sommet de ce cone a une 

 .surface homofocale a A, «, avec cette surface en ce point, un contact du 

 troisieme ordre. 



Supposons que le sommet du cone soit dans l'un des plans prin- 

 paux de A ; la courbe de contact de A et de ce cone, e'est-a-dire la 

 focale de (S), est alors rencontree normalement par ce plan principal ; 

 ces points de rencontre avec ce plan principal sont alors les foyers de 

 la section faite dans (S) par ce plan. Nous sommes alors amenes au 

 theoreme suivant, qui a deja ete enonce ainsi par M. Faure.f 



Deux coniqties homofocales etant donnees, si, d'un point m de Vune, on 

 meme deux tangentes a V autre et que Von trace une conique passant par 

 le point m et ayant pour foyers ces points de contact, elle aura avec la 

 premiere un contact du troisieme ordre au point m. 



Reprenons maintenant Tellipsoide (0) et l'ellipsoide (E) qui lui est 

 liomofocal. Projetons ces surfaces sur le plan (a c b) qui est le plan 

 d'une section principale de (E). En vertu d'un theoreme connu, les 

 lignes de contour apparent de (0) et de (E) sur ce plan sont deux 

 courbes homofocales. Mais la ligne de contour apparent de (E) a, 

 pour rayon de courbure en c, le rayon de courbure principal, cy 2 de 

 (E) : on aura done ce rayon c^ 2 © n appliquant le theoreme de Faure. 

 Voici la construction qui, sur le plan (a c b) donne ce rayon de cour- 

 bure : au point a on eleve une perpeudiculaire a a c. Du point oil 

 cette droite rencontre la normale on eleve une perpendiculaire a 

 cette normale. Cette perpendiculaire rencontre u en un point que 

 Ton joint par une droite au point obtenu de la meme maniere sur c b ; 

 .cette droite rencontre la normale c^ Y au point 7 3 qui est le centre de 

 courbure cherche. 



On construit de la meme maniere sur la normale cB l le centre de 



* " Comptes Kenclus des Seances de l'Academie des Sciences." Seances des 11 et 

 18 Juin, 1860. 



f " Recueil de Theoremes relatifs aux Sections Coniques." Par M. H. Faure. 

 <Paris: Gauthier-Villars. 1867.) 



