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Lieut.-Col. A. Mannheim. 



[Feb. 2, 



courbure Bo de l'hyperbole qui a pour f oyers a et b, et qui passe par le 

 point c. Ce point t> 2 est un centre de courbure principal de 1 'hyper- 

 boloide (D). 



En faisant usage des points a^, b lt on retrouve le centre de courbure- 

 72 et on determine sur la normale le centre de courbure principal 

 yjo. de l'hyperboloide (H). 



Nous avons done determine les centres de courbure principaux <$ 2) 73: 

 qui nous restaient a trouver. 



La droite B 2 , i]i est Vaxe de courbure de la courbe d' intersection J) des 

 deux hyperbolo'ides (D) et (H). 



Comme on a pu le remarqner, en meme temps que nous determinious 

 les points B 2 , 72 nous avons retrouve les centres de courbure principaux 

 de l'ellipsoide (E). 



Ces points 7 1? 7 3 etablissent done une liaison entre les constructions 

 resultant des deux theoremes absolument drfferents d'ou nous sommes 

 partis. Verifions direct ement cette liaison et pour cela demontrons 

 deux lemmes. 



1°. On donne un angle men {fig. 2) et un 'point fixe i de sa bissec- 

 trice. Par le point i ou mene la transversal e m n et des 'points m, n, on 

 eleve respectiv ement des perpendiculaires aux cotes de V angle. Ces per- 

 pendiculaires rencontrent la bissectrice aux points ni', n' : le conjuguc 

 harmonique i r de c, par rapport a m', n' est le meme quelle que soit la 

 transversale m n. 



T7i on , 1.12. COS OC 



En enet, on a - — • + - 



cm cn ci 



en appelant « la moitie de Tangle donne. II resulte de la 



1 2 . cos a. 



cm cos . a. cn COS . a, CI 

 v 1.1 2 COS 2 a 



d ou — - + — = - — 



cm cn ci 



2 



Mais le premier membre de cette egalite est egal a — , on a done 



ci 



., ci 

 C% = — . 



COS" a, 



Cette valeur de ci' etant independante de la direction de m 01, le 

 lemme est demontre. 



2°. On donne deux angles men, m" c n" (fig. 2) ay ant memesommetc 

 et meme bissectrice c i. Du point fixe i on mene une transversale m n qui 

 rencontre les cotes de Vun des angles en m, n. Be ces points on eleve 

 respectiv ement a ces cotes les perpendiculaires m m", n n". Ces droites 

 rencontrent les cotes du second angle en m", n" : la droite in" n" coupe la 



