1882.J Sur les Surfaces Homofocales du Second Ordre. 329 



bure principaux de l'hyperbolo'icle a une nappe (D) qui est une 

 surface a courbures opposees. 



Au moyen de ces valeurs, on verifie tout de suite le theoreme de 

 Lame qui consiste en ce que le produit c^ X c£ 2 X c?y 1 est egal a moins le 

 produit C7 2 x x 07.3. 



Puisque les rayons de courbure principaux c<y lP cy% ne dependent que 

 du segment c I et des angles compris entre les generatrices qui 

 forment les sections principales du cone de sommet c, on a le theoreme 

 suivant : 



On donne un cone du second ordre de sommet c, un point 1 sur Vun de 

 ses axes, et par ce point on mene un plan arbitraire qui coupe le cone 

 suivant une certaine courbe. Le long de cette courbe on inscrit dans le 

 cone une surface du second ordre quelconque, et Von construit la surface 

 homofocale a celle-ci qui passe en c et qui a pour normale en ce point la 

 droite cl. Cette surface et toutes les surfaces analogues, que Von obtient 

 en faisant varier le plan secant mene par 1 et les surfaces du second ordre 

 inscrites, sont osculatrices entireties au point c. 



Reprenons la ligne de courbure E de l'ellipsoide (E), cette ligne 

 etant le lieu du sommet de Tangle constant a c b, il resulte de l'ex- 

 pression de cy 2 que : 



Les rayons de courbure tels que C7 3 des sections faites dans (E) par des 

 plans normaux a E sont proportionnels aux segments tels que cl. 



La ligne de courbure E peut etre engendree, comme nous l'avons dit 

 en cominencant, en employant l'un quelconque des ellipsoides liomo- 

 focaux a (0). Parmi ceux-ci nous pouvons prendre celui qui, limite 

 .a l'ellipse focale de (E), est infiniment aplati et appliquer le resultat 

 precedent. Nous voyons alors que : 



Les rayons de courbure, tels que C7 2 , des sections faites dans (E) par 

 des plans normaux a E sont proportionnels aux segments compris sur ces 

 rayons entre les 'points de E et les points oil ces rayons rencontrent le plan 

 de V ellipse focale de (E). 



Comme les plans principaux d'un ellipsoide determinent sur une 

 normale quelconque de cette surface des segments proportionnels, on 

 pent remplacer dans cet enonce le plan de V ellipse focale par Vun quel- 

 conque des plans principaux de V ellipsoide. 



Appelons n le point ou la normale c I rencontre le plan de l'ellipse 

 focale de (E). Puisque les rayons de courbure tels que C72 pour les 

 points de E sont proportionnels a c I et a c n, ces segments sont pro- 

 portionnels entr'eux. On a alors ce theoreme : 



Les normales a (E), issues des points de E, sont partagees par les 

 plans polaires de ces points pris par rapport a des ellipsoides homofocaux 

 a (E), en segments proportionnels. 



Cherchons comment varient pour les points de E les rayons de cour- 

 bure, tels que c^, des sections faites dans (E) par des plans normaux 

 a cette surface et tangents a E. 



