330 Sur les Surfaces Homofocales du Second Ordre. [Feb. 2 r 



On sait, depuis Dupin,* que le prodnit des rayons de courbure 

 principaux en un point d'une surface de second ordre est inverse- 

 ment proportionnel a la quatrieme puissance de la distance du centre 

 de la surface au plan tangent en ce point. 



Appelons o p la perpendiculaire abaissee de o sur le plan tangent en 



c a (E). On a alors c^ x 0^^= °°^^ . 



"op 4 



Et comme le produit op X c^ = const e , on a done 



X C7 3 = const 6 X cw 4 . 



Mais pour les points de E les rayons de courbure tels que C72 sont 

 proportionnels ac»; d'apres cela nous retrouvons ce theoreme connu. 



Les rayons de courbure, tels que c 7 l5 des sections faites dans E par des 

 plans normaux a cette surface et tangents a E, sont proportionnels au cube 

 des nor males issues des points de cette courbe.f 

 cl 



Et comine — est constant pour les points de E, nous ajoutons : 



cn 



Ces rayons de courbure sont aussi proportionnels aux cubes des segments 

 tels que c 1. 



D'apres cela on peut ecrire : 



— — = const X cZ 8 , 



COS" My 



d'ou cl X cos w 1 =const c . Ainsi: 



Les projections des segments tels que c 1 sur les droites telles que c a lr 

 sont de grandeur constante, quelle que soit la position de c sur E. 



La ligne de courbure E peut etre prise dans l'un des plans princi- 

 paux de (E) ; on voit ainsi que ce theoreme s'applique a deux coniques 

 homofocales. 



Prenons arbitrairement un ellipsoide homofocal a (0). Soit, dans le- 

 plan a 1 c b Y la generatrice c a% du cone de sommet c qui est circonscrit 

 a cette surface. On a 



cl c\ 



COS" (jU cos~ iv c 



en appelant c ^ et u i les elements relatifs a cette surface et qui sont 

 analogues a c I et « r . Mais c l x est proportionnelle ken. Done le- 



rapport — est constant pour les points de E. On voit alors que 

 cos o> 1 _ co:ns ^e . ou en p renan t les complements des angles : 



COS (Vo 



* " Deyeloppements de G-eometrie," p. 212. 



t De ce theoreme resulte facilement que : — Leslignes de contour apparent de (E), 

 projete orthogonal ement sur des plans normaux a cette surface et tangents a E, sont 

 des ellipses de meme aire. 



