422 A. Mannheim. Centres de Courbure Principaux [Mar. 1 (3, 



relatifs a ce point. Les six centres de courbure principaux des sur- 

 faces (E), (H') 5 (H") sont /q, / <2 surN, / l5 / 2 sur N',^" l3 h'\ sur N". 



Circonscrivons a (0) un cone dont le sommet soit m. Les axes de 

 ce cone sont N, N', N". Le plan (N, X') est le plan d'une section 

 principale de ce cone ; il coupe cette surface suivant deux generatrices 

 qui font, avec N, un angle w. Le plan de la courbe de contact de ce 

 cone, c'est-a-dire le plan polaire de m par rapport a (0), rencontre 

 X, W, N" aux points I, V, I". 



En vertn de relations efcablies dans ma communication du 19 Jan- 

 vier, on a : — 



ml , ml' 



m/q= — , nijjL y=—- , 



cos~ w sin 2 (v 



% ml , ml'-, -• 



m^Y niju, -j 



Lorsque Ton prend d'autres surfaces liomofocales que (0), on a 

 d'autres points, tels que I, T, et si Ton considere m I, w! V comme co- 

 ordonnees d'un certain point du plan (N, N'), le lieu de ce point, 

 d'apres l'equation precedente, est la droite /q, /x\. 



II resulte de la que : — 



Les droites, telles que 1 Y, envelopment une parabole, elles determinent 

 sur ~N et N' des segments proportionnels. Cette parabole touche N et N' 

 aux centres de courbure principaux /q, relatifs a la section principale 

 (N, N') des surfaces (E) et (H') normales <z N et N'. 



Ce que nous venons de dire pour le plan (N, N') peut se repeter 

 pour les plans (N, N"), (N', N") et, dans cbacun de ces plans on a 

 xme parabole. 



Les paraboles, qui sont dans les plans (N, N"), (N', N"), touchent 

 respectivement N et N' aux centres de courbure fi 2 et /tt' 3 des sections 

 faites dans (E) et (H') par ces deux plans, qui sont menes par W. 



La droite /t 2 , #/ 3 est alors Vaxe de courbure* de la litjne d" intersection 

 de (E) et de (H'). Nous verrons tout a l'beure que cet axe de cour- 

 bure est tangente a la parabole qui est dans le plan (N, N'). 



Nous avons vu que les droites, telles que I V, determinent sur N et 

 N' des segments proportionnels. II en est de meme des droites telles 

 que I I" relativement a N et N" ; nous avons done ce tbeoreme : — 



Les plans polaires d'un point m, par rapport a des surfaces liomo- 

 focales, determinent sur les droites N, N', N", axes des cones circonscrits 

 a ces surfaces et dont le sommet est m, des segments proportionnels. 



* L'axe de courbure, relatif a, un point m d'une courbe gauclie, est la perpendicu- 

 laire elevee au plan osculateur en m, a partir du centre de courbure de la courbe en 

 •ce point. La connaissance de l'axe de courbure pour un point d'une courbe en- 

 traine done pour ce point la connaissance du plan osculateur et du centre de 

 courbure de cette courbe. 



