1882.] des Surfaces Homofocales du Second Ordre. 423 



Parmi ces plans polaires, il y a les plans (N, N'), (N, N"), (N', 

 N") qui sont les plans tangents en m aux surfaces (E), (H), (H"), 

 et les plans principaux des surfaces homofocales, qui sont les plans 

 polaires de m, par rapport a celles de ces surfaces qui sont infiniment 

 aplaties. 



L'enveloppe de ces plans polaires est alors une surface developpable 

 tangente a ces six plans. La trace de cette developpable sur le plan 

 (N, N'j est la parabole enveloppe des droites telles que I V, cette 

 developpable, qui est tangente au plan (N, N'), etant coupee par ce 

 plan suivant une parabole est alors du 4 e degre. Nous avons done 

 ce tbeoreme : 



Les plans polaires d'un point m, par rapport a des surfaces homo- 

 focales, enveloppent une surface (D) du ¥ degre, qui est tangente aux 

 plans principaux des surfaces homofocales, ainsi qiiaux plans principaux 

 des cones de sommet m circonscrits a ces surfaces. 



Comme les paraboles suivant lesquelles la surface (D) coupe les 

 plans (N, N'), (N, N"), (N', N""), sont les paraboles dont nous avons 

 deja parle, on a ce tbeoreme : 



La developpable (D), enveloppe des plans polaires de m, touche les 

 droites IS", N', N' 7 , aux six centres de courbure principaux de (E), (H'), 

 (H"), et touche les plans (N N') 3 (N", N"), (N', N"), suivant les axes 

 de courbure des courbes d' 'intersection de ces surfaces p>rises deux a deux. 



On voit bien maintenant pourquoi les axes de courbure de ces 

 courbes sont tangentes aux paraboles, traces de (D), sur les plans 

 (N, W), (N, W), (W, W). 



Par N', menons des plans tangents a (0). Ces plans toucbent le 

 cone de sommet m circonscrit a cette surface suivant les deux genera- 

 trices qui sont dans le plan de la section principale de ce cone, per- 

 pendiculaires a W. De la resulte que, par rapport a (0), ce plan, qui 

 n'est autre que le plan (N, N"), est le plan polaire de V . De nieme le 

 plan (N, N') est le plan polaire de I" par rapport a la meme surface. 

 Rapprochons indefiniment (0) de l'ellipsoide (E) et nous arrivons a ce 

 theoreme : 



La normale en to. a Vune des surfaces homofocales a pour polaire, par 

 rapport d cette surface, Vaxede courbures de la ligne d' intersection des deux 

 avtres surfaces homofocales qui passent en m. 



On retrouve aussi ce tbeoreme connu : 



Les centres de courbure principaux cVune surface du second ordre en m 

 sont les poles du plan tangent en ce point d cette surface par rapport aux 

 deux surfaces homofocales qui passent par m.* 



Appelons a, b, c les points ou N perce les plans principaux des sur- 

 faces homofocales. De meme, appelons a', b' , c , a", b", c" les points 

 analogues pour N' et N". Puisque les plans principaux sont des plans 



* Voir " Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions." By George 

 Salmon. 3rd edition. Page 151. 



