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Sulle funzioni sommabili 

 Nota di CARLO SEVERINi 



È noto che le operazioni aritmetiche elementari, applicate 

 a funzioni misurabili danno luogo a funzioni misurabili ; di più 

 che il limite di una successione convergente di funzioni misu- 

 rabili è una funzione misurabile (*). Se le funzioni, che si ot- 

 tengono, sono limitate, di esse può dirsi che sono anche somma- 

 bili ; non così se non sono limitate, nel qual caso occorre ricer- 

 care sotto quali condizioni godono di quest'ultima proprietà (**). 



Di tale ricerca e di altre questioni, che ad essa si connet- 

 tono, tra le quali importante quella della definizione dell' inte- 

 grale di una funzione misurabile, che in un insieme infinito di 

 punte diventa infinita, io mi occupo nella presente Nota. Que- 

 st' ultima parte mi conduce ad un raffronto tra il concetto d'in- 

 tegrale di Lebesgue per le funzioni non limitate ed il concetto 

 d'integrale definito improprio, assolutamente convergente: allo 

 stesso modo che la definizione di Riemann rientra, nel caso di 

 funzioni limitate, in quella di Lebesgue, il secondo dei due con- 

 cetti è contenuto nel primo : 



1. Le funzioni f n (x) (n= 1,2,..., x J siano definite nell'in- 

 tervallo finito, positivo b) (le considerazioni che seguono si 

 estendono immediatamente al caso di (n,b) negativo); siano som- 



(*) Cfr. Lebesgue : Lefoits sur /' integration ci la recherahe des fonctions •primitive» ; Chap. 

 VII, III. Paris, Gautier Villars, 1904. 



(**) Cfr. Lebesgue: l. c. Chap. VII, IV. 



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