Carlo Beverini [Memoria XII. 



inabili, e per ogni x, al crescere di //, tendano al limite deter- 

 minato e finito f(x). Inoltre si abbia : 



(1) \f n (x) \^\f (x) | , / \f n (x)\ dx < M (» = 1,2, ... oc), 



J « 



ove M indica una costante positiva, finita. 



Sotto tali ipotesi la f(x) è sommabilile, e di più: 



r 



(2) jf(x) dx = lini / f n (x) dx. (*) 



J n=< *J 



a a 



Per la dimostrazione scomponiamo ciascuna delle f n (x) nel- 

 la somma delle due funzioni <p„ (x), <!>« (x), definite come segue : 



cp„ (x) = f n (x) per ogni x in cui /'„ (a?) ^> 

 y n (x) = » » » » f n (x) < 



K (*') = /« » » » » fn ( x ) <C 



c]) n (a?) = » » » » /„ (a?) > 0. 

 Le cp„ (a?) , 'ht (x) risulteranno del pari sommabili e, posto : 

 tp («) = lini cp„ (x), 4» (a?) = lini <|>„ (a?), 



sarà : 



(3) /» = <p (a?) + <H*). 

 Consideriamo la successione delle «p* (a?). 



Indicando con Z ; (i = 1,2, ... , co ) una successione crescente 

 di numeri positivi, tendenti all' infinito, tali che le differenze 



(*) Se la f (x) fosse limitata la 2 a delle coudizioni (1) sarebbe una conseguenza della 

 prima, e questa porterebbe che le f n (x) souo limitate nel loro insieme, cioè qualunque sia- 

 no x ed w, nel qual caso si sa già sussistere la (2). Cfr. Lebesgue 1. c. p. 114. 



