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Carlo Se ver ini 



| Memoria. XII.J 



si deduce dalla (4) che deve essere: 



E* l t m ■ E [l t <: <p (x) < 1^] j ^ M (i = 1,2, . . . . , oo) , 



il che permette di concludere che la (6) è convergente. Tale è 

 allora anche la (7), e le due serie, se s' intercalano nella succes- 

 sione delle l t dei nuovi numeri, in modo che la massima diffe- 

 renza fra due consecutivi tenda a zero, tendono ad un medesi- 

 mo limite determinato e finito, che è l'integrale della cp (x). 

 La cp (x) è dunque sommabile. 



Analogamente si vede che è sommabile la <\> (%). 



Sarà tale allora, per la (3), anche la /(#), e si avrà : 



% b rb ri 



'/(oc) dx = Jf (x) dx -j- / c}> (x) dx. 



a a a 



Se inversamente , ferme rimanendo le altre ipotesi sulle 

 f n { a ')i e ^ a condizione espressa dalla prima delle disuguaglianze 

 (1), si suppone la f(x) sommabile, è facile vedere che risulta 

 soddisfatta la seconda delle (l). 



Insieme colla f(x) sono infatti sommabili le cp (x) , | c|> (%) | , 

 ed essendo : 



'b rb 



1 cp„ (x) dx < / 1 / (x) | dx {n ==. 1,2, . . . . , oc) 



« a 



•b rb 



0*01 - / 1/ (*0 I *» (n = 1,2, . . . . , oo) 



a a 



se ne ricava ; 



./;, (•'•) i ^^2 j\f(a ., i ...... ; 



»/ 



a a 



che dimostra quanto abbiamo dianzi asserito. 



